11 клас

[Гост]

Помощ

[Евва]

Нека AB=2a ,тогава AD=2[tex]\sqrt{2}[/tex]a ; AK=DK=[tex]\sqrt{2}[/tex]a
Нека правите AC и BK се пресичат в т.P
[tex]\angle[/tex]APK= ?

Първо да намерим AP и KP .
[tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен и [tex]\triangle[/tex]ABK е правоъгълен
[tex]AB^{2 } +BC^{2 } =AC^{2 }[/tex] и [tex]AB^{2 } + AK^{2 } = BK^{2 }[/tex]
[tex]4a^{2 } +8a^{2 } =AC^{2 }[/tex] и [tex]4a^{2 } +2a^{2 } =BK^{2 }[/tex]

AC=2[tex]\sqrt{3}[/tex]a (1) , BK=[tex]\sqrt{6}[/tex]a (2)

[tex]\triangle[/tex]APK[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]CPB ( 1 признак )
[tex]\frac{AP}{CP}= \frac{KP}{BP} =\frac{AK}{BC} ;\frac{AP}{CP} =\frac{KP}{BP} =\frac{ \sqrt{2} a}{2 \sqrt{2} a } = \frac{1}{2}[/tex]

Това значи ,че CP е два пъти по-голяма от AP (3) и BP е два пъти по-голяма от KP (4)
От (1) и (3) следва ,че CP=[tex]\frac{2.2 \sqrt{3}a}{3}[/tex] и AP=[tex]\frac{2 \sqrt{3}a }{3}[/tex]
От (2) и (4) следва ,че BP=[tex]\frac{2 \sqrt{6} a }{3}[/tex] и KP=[tex]\frac{ \sqrt{6}a }{3}[/tex]

Забелязваме ,че [tex]AP^{2 } +KP^{2 } =AK^{2 }[/tex] т.е. [tex]\frac{12 а^{2 } }{9}+ \frac{6 а^{2 } }{9}=2 а^{2 }[/tex]

Наистина [tex]\frac{18 а^{2 } }{9} =2 а^{2 }[/tex] ,което значи ,че [tex]\triangle[/tex]APK е правоъгълен с хипотенуза AK .
Тогава [tex]\angle[/tex]APK= 90[tex]^\circ[/tex]

[peyo]

Помоooooooooooooooooooooooooщ

[tex]\angle[/tex] BAC = atan(sqrt(2))
[tex]\angle[/tex] ABK = atan(sqrt(2)/2)

[tex]\angle AXB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABK[/tex]

In [130]: 180 - math.degrees(atan(sqrt(2)) + atan(sqrt(2)/2))
Out[130]: 90.0