Олимпиада 12. клас

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тези две задачи, давани на олимпиада?

Задача 1: Дадена е функцията f(x)= [tex]x^{4 }[/tex] - [tex]4x^{3 }[/tex] - [tex]10x^{2 }[/tex]. От графиката на функцията (построена в правоъгълна координатна система) е взета точка М с абсциса, равна на – 1 и през нея е построена допирателна t към графиката на функцията.
А) Докажете, че правата t пресича графиката на функцията в още две точки А и В съответно от първи и четвърти квадрант.
Б) Намерете лицето на триъгълника ОАВ.

Задча 2: Дадена е функцията [tex]5x^{3 } - хIx+1I[/tex]
А) Определете точките на екстремум на функцията в интервала [–2;0];
Б) Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията в интервала [–2;0]

[ptj]

Геометричния смисъл на първата производна е, че дава ъгловия коефициент на допирателната към точка от графиката на функцията.

[tex]f(-1)=(-1)^4-4(-1)^3-10(-1)^2=1+4-10=-5[/tex]

[tex]f'(x)=4x^3-12x^2-20x[/tex]

[tex]f'(-1)=4(-1)^3-12(-1)^2-20(-1)=-4-12+20=4[/tex]

Нека означим правата, яваваща се допирателна към графиката на функцията [tex]f(x)[/tex] в точката [tex]M(-1;-5)[/tex] с [tex]t[/tex].

[tex]t: \frac{y-(-5)}{x-(-1)}=4 \Leftrightarrow t: y=4x-1[/tex]

За да намерим абцисите на пресечените точки на [tex]t[/tex] и f(x), трябва да решим :

[tex]4x-1=x^4-4x^3-10x^2 \Leftrightarrow x^4-4x^3-10x^2-4x+1=0[/tex]

Ясно е, че ако има целочислени корени горното уравнение то възможностите са само [tex]\pm1[/tex].

Чрез проверка намираме, че [tex]x=-1[/tex] е двоен корен.

[tex]0=x^4-4x^3-10x^2-4x+1=(x^2+2x+1)(x^2-6x+1)=(x-1)^2((x-3)^2-8)[/tex]

Последния ред ни дава абцисите на пресечените точки [tex]x_{3,4}=3 \pm 2 \sqrt{2}[/tex].

За по лесни сметки при намирането на съответните ординати може да изполваме уравнението на допирателната.

[tex]А(3-2 \sqrt{2};11-8 \sqrt{2}), B(3+2 \sqrt{2};11+2 \sqrt{2})[/tex]

Лицето на [tex]ОАB[/tex] може да се намери чред допълване до многоъгълник със страни успоредни на координатните оси...

[grav]

Чрез проверка намираме, че [tex]x=-1[/tex] е двоен корен.

Не е нужно до се проверява. След като правата е допирателна в тази точка, корена ще е поне двоен.

[grav]

Каква е функцията във втората задача.