Задача с параметър

[Гост]

Благодаря.

[Гост]

napishi si razsuzhdenijata...

[Гост]

Не знам откъде да започна

[ammornil]

$ 4\cdot{}3^{-x^{2}}+(3a-2)\cdot{}3^{x^{2}}-4a=0 \\[6pt] \quad \text{ДМ:} \forall{}x\in{}\mathbb{R} \\[6pt] 3^{x^{2}}>0 \hspace{2em} \forall{x}\in{}\text{ДМ} \Rightarrow 3^{x^{2}}=u >0 \Rightarrow 3^{-x^{2}}=(3^{x^{2}})^{-1}=\frac{1}{u} \\[12pt] \frac{4}{u}+(3a-2)u-4a=0 \\[12pt] (3a-2)u^{2}-4au+4=0 \\[24pt]$Можете ли да продължите оттук?

[Гост]

Да. Много Ви благодаря. Ако имате време, мога ли да Ви попитам за още една задача с параметър?

За кои стойностти на параметъра m корените на уравнението x^4-(3m+1)x^2 +m^2=0 са различни и образуват аритметична прогресия?

[ammornil]

Да. Много Ви благодаря. Ако имате време, мога ли да Ви попитам за още една задача с параметър?

За кои стойностти на параметъра m корените на уравнението x^4-(3m+1)x^2 +m^2=0 са различни и образуват аритметична прогресия?

Може би нещо с Виет, но в момента не мога да го разгледам, съжалявам.

[Гост]

Да. Много Ви благодаря. Ако имате време, мога ли да Ви попитам за още една задача с параметър?

За кои стойностти на параметъра m корените на уравнението x^4-(3m+1)x^2 +m^2=0 са различни и образуват аритметична прогресия?

Може би нещо с Виет, но в момента не мога да го разгледам, съжалявам.

Благодаря Ви

[peyo]

Да. Много Ви благодаря. Ако имате време, мога ли да Ви попитам за още една задача с параметър?

За кои стойностти на параметъра m корените на уравнението $x^4-(3m+1)x^2 +m^2=0$ са различни и образуват аритметична прогресия?

In [150]: var("x_1,k,x,m")
Out[150]: (x_1, k, x, m)

In [151]: p = x**4-(3*m+1)*x**2 +m**2

In [152]: u = (x -x_1)*(x- x_1-k)*(x - x_1-2*k)*(x-x_1-3*k)

In [153]: poly(u-p,x)
Out[153]: Poly((-6*k - 4*x_1)*x**3 + (11*k**2 + 18*k*x_1 + 3*m + 6*x_1**2 + 1)*x**2 + (-6*k**3 - 22*k**2*x_1 - 18*k*x_1**2 - 4*x_1**3)*x + 6*k**3*x_1 + 11*k**2*x_1**2 + 6*k*x_1**3 - m**2 + x_1**4, x, domain='ZZ[m,k,x_1]')

In [154]: poly(u-p,x).coeffs()
Out[154]:
[-6*k - 4*x_1,
11*k**2 + 18*k*x_1 + 3*m + 6*x_1**2 + 1,
-6*k**3 - 22*k**2*x_1 - 18*k*x_1**2 - 4*x_1**3,
6*k**3*x_1 + 11*k**2*x_1**2 + 6*k*x_1**3 - m**2 + x_1**4]

In [155]: solve(poly(u-p,x).coeffs())
Out[155]:
[{k: -2, m: 3, x_1: 3},
{k: 2, m: 3, x_1: -3},
{k: -2*sqrt(19)/19, m: -3/19, x_1: 3*sqrt(19)/19},
{k: 2*sqrt(19)/19, m: -3/19, x_1: -3*sqrt(19)/19}]

[S.B.]

[tex]4. 3^{ -x^{2 } } + (3a - 2) 3^{ x^{2 } } - 4a = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{ 3^{ x^{2 } } } + (3a-2) 3^{ x^{2 } } - 4a = 0 \Leftrightarrow (3a - 2). 3^{2 x^{2 } } - 4a. 3^{ x^{2 } } + 4 = 0[/tex]
Нека [tex]3^{ x^{2 } } = t > 0[/tex] Замествам и получавам:
$$(3a - 2). t^{2 } - 4a.t + 4 =0 $$

1)
[tex]x = 0 \Rightarrow t = 3^{ x^{2 } } = 1[/tex]
[tex](3a -2).1 -4a.1 +4 = 0 \Leftrightarrow 3a - 2 -4a + 4 = 0 \Rightarrow a = 2[/tex]
Получи се ,че за $a = 2 , x= 0$ е единствен неположителен реален корен.

2)
[tex]x \ne 0[/tex]
Тогава [tex](3a - 2) t^{2 } -4at + 4=0[/tex] би имало единствен корен ако $(3a - 2) = 0$
[tex]3а - 2 = 0 \Rightarrow а = \frac{2}{3}[/tex]
[tex]0. t^{2 } - 4at + 4 =0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow -4. \frac{2}{3}.t + 4 = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3}.t = 1 \Rightarrow t = \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\begin{cases} t = \displaystyle \frac{3}{2} \\ t = 3^{ x^{2 } } \end{cases} \Rightarrow 3^{ x^{2 } } = \displaystyle \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\log_{3 } 3^{ x^{2 } } = \log_{3 } \frac{3}{2} \Leftrightarrow x^{2 } \log_{3 }3 = \log_{3 }3 - \log_{3 }2 \Leftrightarrow x^{2 } = 1 - \log_{3 }2 \Rightarrow x_{1,2 } = \pm \sqrt{1 - \log_{3 } 2}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]a = \frac{3}{2}[/tex] съществува единствен неположителен реален корен [tex]x = - \sqrt{1 - \log_{3 }2 }[/tex]

Нека [tex]3a - 2 \ne 0[/tex]

Уравнението [tex](3a - 2) t^{2 } - 4at + 4 = 0[/tex] ще има единствен корен при $D = 0$

[tex]D = 16 a^{2 } - 16(3a - 2)= 0 \Leftrightarrow a^{2 } - 3a + 2 = 0, a_{1 } = 1, x_{2 } = 2[/tex]
Сега [tex]t = \frac{4a}{2(3a-2) } \Leftrightarrow t = \frac{2a}{(3a - 2)}[/tex]

$$a= 1$$
[tex]t = \frac{2a}{3a -2} \Rightarrow t = 2[/tex]
[tex]\begin{cases} 3^{ x^{2 } } = t \\ t = 2\end{cases} \Rightarrow 3^{ x^{2 } } = 2 \Rightarrow \log_{3 } 3^{ x^{2 } } = \log_{3 }2 \Leftrightarrow x^{2 } \log_{3 } 3 = \log_{3 }2 \Rightarrow x^{2 } = \log_{3 } 2 \Rightarrow x_{1,2 } = \pm \sqrt{ \log_{3 }2 }[/tex]
Единственият неположителен реален корен за $a = 1$ е [tex]x = - \sqrt{ \log_{3 }2 }[/tex]

$$ a = 2$$

[tex]t = \frac{2a}{3a - 2} \Rightarrow t = \frac{4}{6 - 2} \Rightarrow t = 1[/tex]
[tex]\begin{cases} 3^{ x^{2 } } = t \\ t = 1 \end{cases} \Leftrightarrow 3^{ x^{2 } } = 1 \Rightarrow x^{2 } = 0 \Rightarrow x = 0[/tex]
Единствен неположителен реален корен за $a = 2 $ е $x = 0$

ОТГОВОР:
За $a = 2$ единствен неположителен реален корен е $x = 0$
За [tex]a = \frac{2}{3}[/tex] единствен неположителен реален корен е [tex]x = - \sqrt{1 - \log_{3 }2 }[/tex]
За $a= 1$ единствен неположителен реаен корен е [tex]x = - \sqrt{ \log_{3 } 2}[/tex]