Параметър 11 кл.

[Гост]

За кои стойностти на параметъра m корените на уравнението x^4-(3m+1)x^2 +m^2=0 са различни и образуват аритметична прогресия?

Направих го с формулите на Виет , но търся решение без тях, защото не ми се получава. Опитах да положа x^2=y ; , после x1 = sqrt((3m+1+sqrt((m+1)(5m+1))/2, и аналогично x2= -x1
По същия начин x3 = sqrt((3m+1-sqrt((m+1)(5m+1))/2 , и x4= -x3.
После правя система , отговаряща на свойствата на аритметична прогресия , но оттам получавам като m само 0, и в такъв случай корените са еднакви.

[ammornil]

За кои стойностти на параметъра m корените на уравнението x^4-(3m+1)x^2 +m^2=0 са различни и образуват аритметична прогресия?

Направих го с формулите на Виет , но търся решение без тях, защото не ми се получава. Опитах да положа x^2=y ; , после x1 = sqrt((3m+1+sqrt((m+1)(5m+1))/2, и аналогично x2= -x1
По същия начин x3 = sqrt((3m+1-sqrt((m+1)(5m+1))/2 , и x4= -x3.
После правя система , отговаряща на свойствата на аритметична прогресия , но оттам получавам като m само 0, и в такъв случай корените са еднакви.

Аз също нещо се оплетох. Ето моята идея за подход, но не виждам в момента къде е продължението:
[tex]\\[12pt] x^{2}=u>0 \Rightarrow x=\pm{}\sqrt{u} \\[6pt] \exists{}x_{1}\ne{}x_{2}\ne{}x_{3}\ne{}x_{4} \Rightarrow x_{i}\ne{}0 \Rightarrow u_{1,2}>0 \\[6pt] x_{1}=-\sqrt{u_{1}}, x_{2}=\sqrt{u_{1}}, x_{2}=-x_{1}, \quad x_{3}=-\sqrt{u_{2}}, x_{4}=\sqrt{u_{2}}, x_{4}=-x_{3}, \\[12pt] u^{2}-(3m+1)u +m^{2}=0 \\ \exists{u_{1,2}} \Rightarrow (3m+1)^{2}-4\cdot{}1\cdot{}m^{2}>0 \Rightarrow 5m^{2}+6m+1>0 \rightarrow m_{1,2}=\dfrac{-3\pm{}\sqrt{3^{2}-5\cdot{}1}}{1}=-3\pm{}2 \\ \quad m\in{}(-\infty;-5)\cup{}(-1;+\infty)\\[6pt] u_{1}>u_{2}>0 \Rightarrow \begin{array}{|l} u_{1}+u_{2}=3m+1>0 \\ u_{1}\cdot{}u_{2}=m^{2}>0 \\ m\in{}(-\infty;-5)\cup{}(-1;+\infty) \end{array} \Rightarrow m\in{}\left(-\frac{1}{3};+\infty\right) \\[12pt] \because{} u_{1}>u_{2} \Rightarrow \div{} -\sqrt{u_{1}}, -\sqrt{u_{2}},\sqrt{u_{2}}, \sqrt{u_{1}} \Leftrightarrow \div{} x_{1}, x_{3}, -x_{3}, -x_{1} \\[6pt] \Rightarrow d=x_{3}-x_{1}=-x_{3}-x_{3} \Leftrightarrow x_{1}=3x_{3} \Rightarrow d=x_{3}-3x_{3}=-2x_{3} \\[6pt] \div{} 3x_{3}, x_{3}, -x_{3}, -3x_{3} \Rightarrow u_{1}=9x_{3}^{2},\quad u_{2}=x_{3}^{2}[/tex]

[pal702004]

Разбира се, че се решава с Виет. Уравнението е биквадратно, значи ако $x$ е корен, то корен е и $-x$. Нека корените са

$-b,-a,a,b$ в този ред за някои положителни $a,b$

За да са в аритм. прогресия е необходимо $-a+b=2a$ или $b=3a$, т.е, прогресията е

$-3a,-a,a,3a$

тук вече идва Виет:

[tex]\begin{array}{|l} m^2=9a^4 \\ 3m+1=10a^2 \end{array}[/tex]

Получават се четири различни ршения за $m$, при три от които корените са реални.

[peyo]

За кои стойностти на параметъра m корените на уравнението x^4-(3m+1)x^2 +m^2=0 са различни и образуват аритметична прогресия?

Направих го с формулите на Виет , но търся решение без тях, защото не ми се получава. Опитах да положа x^2=y ; , после x1 = sqrt((3m+1+sqrt((m+1)(5m+1))/2, и аналогично x2= -x1
По същия начин x3 = sqrt((3m+1-sqrt((m+1)(5m+1))/2 , и x4= -x3.
После правя система , отговаряща на свойствата на аритметична прогресия , но оттам получавам като m само 0, и в такъв случай корените са еднакви.

Може и директно без Виет, но както виждаме има много сметки:
https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=10&t=33658#p130121

[Евва]

Получих m=3 , или m= - [tex]\frac{1}{5}[/tex] .
Не разбирам защо вторият отговор отпада .

[peyo]

Получих m=3 , или m= - [tex]\frac{1}{5}[/tex] .
Не разбирам защо вторият отговор отпада .

m=3 и m=-3/19 са валидни отговори

In [7]: solve(p.subs(m,3))
Out[7]: [-3, -1, 1, 3]

In [8]: solve(p.subs(m,-3/19))
Out[8]: [-0.688247201611685, -0.229415733870562, 0.229415733870562, 0.688247201611685]

[Евва]

[tex]x_{1 }= - \sqrt{ \frac{3m+1+ \sqrt{5 m^{2 }+6m+1 } }{2} }[/tex]

[tex]x_{2 } = - \sqrt{ \frac{3m+1- \sqrt{5 m^{2 } +6m+1} }{2} }[/tex]

[tex]x_{3 } = \sqrt{ \frac{3m+1- \sqrt{5 m^{2 }+6m+1 } }{2} }[/tex]

[tex]x_{4 }= \sqrt{ \frac{3m+1+ \sqrt{5 m^{2 }+6m+1 } }{2}}[/tex]

Необходимо е [tex]x_{2 }= \frac{ x_{1 } +x_{3 } }{2}[/tex]

Решавайки ирац.ур-е стигнах до 5[tex]m^{2 }[/tex]-14m-3 =0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]m_{1 } = 3 , m_{2 }= -\frac{1}{5}[/tex]