10 клас 2024

[Гост]

Моля за помощ с 2 зад.

[ptj]

Винаги когато имаш подобно равенство, може да се си сигурен, че едно от решениета е свързано с негото трансформиране в съотношение на отсечки,

т.е. [tex]\frac{r}{AE}=\frac{ED}{r}[/tex]

Мога да ти напомня, че външните допирателни са равни.

Остава да намериш съответните подобни правоъгълни триъгълници (съдържащи отсечките от намереното съотношение).

Равенството на съответните ъгли не вярвам да те затрудни.

[S.B.]

Без заглавие - 2024-12-11T104409.904.png (273.07 KiB) Прегледано 322 пъти

а)
Центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите,следователно $AO$ и $DO$ са ъглополовящи съотбетно на [tex]\angle DAB[/tex] и [tex]\angle ADC[/tex],които са прилежащи ъгли получени при пресичането на две успоредни прави с трета.
[tex]\angle DAB + \angle ADC = 180 ^\circ \Rightarrow \frac{1}{2}( \angle DAB + \angle ADC) = 90 ^\circ \Rightarrow \angle AOD = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle AOD[/tex] е правоъгълен с хипотенуза $AD$ и височина [tex]OE \bot AD, OE = r[/tex]
Тогава от метричните свойства в правоъгълния триъгълник имаме:
$$ OE^{2 } = AE.DE \Leftrightarrow r^{2 } = AE.DE $$

б)
$MN$ е симетрала на $AB$, центърът $O$ лежи на $MN$ (лесно се доказва)[tex]\Rightarrow MN[/tex] е диаметър, а [tex]\triangle MFN[/tex] е правоъгълен с хипотенуза $MN = 2r$ и височина $PF$, защото
[tex]MN \cap EF = P ,MN \bot EF, EM = MF = 4[/tex]
Ако [tex]NP = x \Rightarrow MP = 2r - x[/tex]
Отново прилагам метричните свойства в правоъгълния триъгълник:
[tex]NP.PM = PF^{2 } \Leftrightarrow x(2r-x) = 16 \Leftrightarrow x^{2 } - 2rx - 16 = 0[/tex]
[tex]D = 4 r^{2 } - 4.16 = 4(r + 4)(r - 4) \ge 0[/tex]
[tex]r > 0 \Rightarrow r \ge 4[/tex]
Ако $r=4$ тогава понеже $EF = 8$ трапецът ще се изроди в квадрат [tex]\Rightarrow r > 4[/tex]
Получавам [tex]x_{1,2 } = r \pm \sqrt{ r^{2 } - 16} \Leftrightarrow x_{1,2 } = r \pm \sqrt{D} , 2r - x_{1,2 } = r \mp \sqrt{D}[/tex]
[tex]MP = r \mp \sqrt{D}, PN = r \pm \sqrt{D}[/tex]

[tex]S_{ABCD } = S_{ABFE } + S_{EFCD }[/tex]

[tex]\frac{AB + 8}{2}.MP + \frac{CD + 8}{2}.NP = 125[/tex]
[tex]AE = \frac{AB}{2}, ED = \frac{CD}{2} , AE.ED = r^{2 } \Rightarrow AB.CD = 4 r^{2 }[/tex]

Получава се системата:
[tex]\begin{array}{|l} AB.CD = 4 r^{2 } \\ \displaystyle\frac{AB + 8}{2}.MP + \displaystyle\frac{CD + 8}{2}.PN = 125 \end{array}[/tex]

Оставям за теб удоволствието да заместиш $MP$ и $NP$ с получените по-горе изрази и да решиш системата!