Общински кръг 2024 г 9 клас

[Гост]

Задача $3$
Върху $9$ картички са записани числата от множеството $\{ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ - по едно число върху картичка. Всяко от пет деца избира и взима една от картичките. Ще наречем избор "интересен", ако произведението на петте избрани числа е равно на $1$.
а) По колко различни начина децата могат да изберат $5$ картички?
б) От кои картички се получава "интересен" избор?
в) Каква е вероятността децата да са направили "интересен" избор?

Искам да ви питам как тълкувате условието? Според вас редът има ли значение? Явих се на тазгодишните задачи. Неприятно съм изненадан и от отговора на въпроса ми по задачата - "Без коментар", така и че съм писал единия вариант, а *вярното* решение е по-другия начин. Нарочно не казвам кой точно. Искам честното ви мнение.

На мен ли ми куца четенето с разбиране или условието не е написано много ясно. Както на мен, така и на повечето ми съученици отговориха с "Без коментар". Явно от условието се подразбира. За съжаление аз не го подразбрах.
Условието съм го преписал едно към едно.

P.S.
И по двата начина отговорите се получават едни и същи, понеже по единия начин ще се съкратят факториелите, а по другия изобщо няма да ги има. Но все пак мисля, че за верен отговор ще ми дадат малко точки.
Разбрах, че е имало проблем и с $3$ задача $4$ клас.

[Гост]

Задача $3$
Върху $9$ картички са записани числата от множеството $\{ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ - по едно число върху картичка. Всяко от пет деца избира и взима една от картичките. Ще наречем избор "интересен", ако произведението на петте избрани числа е равно на $1$.
а) По колко различни начина децата могат да изберат $5$ картички?
б) От кои картички се получава "интересен" избор?
в) Каква е вероятността децата да са направили "интересен" избор?

Искам да ви питам как тълкувате условието? Според вас редът има ли значение? Явих се на тазгодишните задачи. Неприятно съм изненадан и от отговора на въпроса ми по задачата - "Без коментар", така и че съм писал единия вариант, а *вярното* решение е по-другия начин. Нарочно не казвам кой точно. Искам честното ви мнение.

На мен ли ми куца четенето с разбиране или условието не е написано много ясно. Както на мен, така и на повечето ми съученици отговориха с "Без коментар". Явно от условието се подразбира. За съжаление аз не го подразбрах.
Условието съм го преписал едно към едно.

P.S.
И по двата начина отговорите се получават едни и същи, понеже по единия начин ще се съкратят факториелите, а по другия изобщо няма да ги има. Но все пак мисля, че за верен отговор ще ми дадат малко точки.
Разбрах, че е имало проблем и с $3$ задача $4$ клас.

За В) се получават едни и същи вероятностите (това имах предвид), но има разлика в $А)$.

[Гост]

Задача $3$
Върху $9$ картички са записани числата от множеството $\{ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ - по едно число върху картичка. Всяко от пет деца избира и взима една от картичките. Ще наречем избор "интересен", ако произведението на петте избрани числа е равно на $1$.
а) По колко различни начина децата могат да изберат $5$ картички?
б) От кои картички се получава "интересен" избор?
в) Каква е вероятността децата да са направили "интересен" избор?

Искам да ви питам как тълкувате условието? Според вас редът има ли значение? Явих се на тазгодишните задачи. Неприятно съм изненадан и от отговора на въпроса ми по задачата - "Без коментар", така и че съм писал единия вариант, а *вярното* решение е по-другия начин. Нарочно не казвам кой точно. Искам честното ви мнение.

На мен ли ми куца четенето с разбиране или условието не е написано много ясно. Както на мен, така и на повечето ми съученици отговориха с "Без коментар". Явно от условието се подразбира. За съжаление аз не го подразбрах.
Условието съм го преписал едно към едно.

P.S.
И по двата начина отговорите се получават едни и същи, понеже по единия начин ще се съкратят факториелите, а по другия изобщо няма да ги има. Но все пак мисля, че за верен отговор ще ми дадат малко точки.
Разбрах, че е имало проблем и с $3$ задача $4$ клас.

Разбира се, че редът има значение. Пита се по колко различни начина може да стане.

[ptj]

За а.) отговора е :

Първото дете може да избира измежду 9 възможности, второто измежду 8, третото измежду 7, 4-тото измежду 6 и 5-тото измежду 5. Затова отговора е 9.8.7.6.5=14820 варианта.


За в.) може да разсъждаваме по следния начин:

Първите две деца имат същите възможнсти като при отговор а.) , т.е. съсответно 9 и 8.
Нека първото от тях да е избрало картичка със тойност [tex]x[/tex], a второто с [tex]y[/tex]. Тогава за да се получи "интересна комбинация" останилте 3 ще трабвя да изберат картички "1","1/x" и "1/y", което ще съответста на пермутация от 3 елемента ( реда има значение).
Децата могат да напрявят "интересен избор" по 9.8.3.2.1=432 начина, а вероятността за това е [tex]\frac{432}{14820}= \frac{9.8.3.2.1}{9.8.7.6.5}= \frac{1}{35}[/tex].

Отговора на б.) вече го има в решението на в.).

П.П. При подобни задачи за избор идеята е, че всеки участник избира измежду всички варианти минус избраните от участниците преди него (вече фиксирани).
Естествено в решението (по подразбиране) използваме, че от числата 1,2,3,4,5 всеки две са взаимно прости помежду си.

Колкото до точките за решението- ако то е правилно, точките за него са пълен брой (без значение дали е същото като авторовото или не).
Съответно при непълно обяснение или частично решение ще ти отнемат точки...

[pal702004]

Децата могат да направят "интересен избор" по $C_4^2 \cdot 5!=6!$ начина

[ptj]

Разбрах къде греша.

Koгато едното от първите две деца избере единица, за останалите 3 вариантите са различни от 3!.

Това може да се избегне, като разгледаме първо кое дете е избрало 1-цата, т.е. това са 5 варианта.

След това виждамe по колко начина може да изберем 2 деца от 4, т.е. [tex]C_4^2= \frac{4!}{2!(4-2)!} =6[/tex]. Понеже за нас реда има значение, ще трябва да умножим този резултат по 2 (пример (1;4) и (4;1) за нас са различни двойки деца).
Избраните 2 деца ще имат 2 от 4-те картички "2,3,4,5", а останалите 2 съответно картичките с реципрочни стойности, т.е. вариантите ще са [tex]C_4^2.P(2)=6.2!=12[/tex]
Окончателно вариантите за "интересен избор са [tex]5.12.12=720=6![/tex]

Съответно отговора на в.) е [tex]\frac{1}{21}[/tex].

Забележката ми за взаимно простите числа също не е изцяло вярна, защото малко по особен е случая при 2 и 4 (имат общ делител 2).
Различната четност на общия им делител в тях на практика действа като при случая с взаимно прости числа.

[pal702004]

Моята логика е друга, но води до същия резултат. Имаме четири "малки", четири "голема" числа и единица. Първо да видим от кои числа се получава "интересен избор" (без да ги прикрепяме към деца). Достатъчно е да изберем две големи числа. Останалите се определят еднозначно - единица и техните реципрочни. Т.е. $C_4^2$ начина. Като сме определили числата, остана да ги разпределим между 5 деца, т.е $\times 5!$

[Гост]

Разбрах къде греша.

Koгато едното от първите две деца избере единица, за останалите 3 вариантите са различни от 3!.

Това може да се избегне, като разгледаме първо кое дете е избрало 1-цата, т.е. това са 5 варианта.

След това виждамe по колко начина може да изберем 2 деца от 4, т.е. [tex]C_4^2= \frac{4!}{2!(4-2)!} =6[/tex]. Понеже за нас реда има значение, ще трябва да умножим този резултат по 2 (пример (1;4) и (4;1) за нас са различни двойки деца).
Избраните 2 деца ще имат 2 от 4-те картички "2,3,4,5", а останалите 2 съответно картичките с реципрочни стойности, т.е. вариантите ще са [tex]C_4^2.P(2)=6.2!=12[/tex]
Окончателно вариантите за "интересен избор са [tex]5.12.12=720=6![/tex]

Съответно отговора на в.) е [tex]\frac{1}{21}[/tex].

Забележката ми за взаимно простите числа също не е изцяло вярна, защото малко по особен е случая при 2 и 4 (имат общ делител 2).
Различната четност на общия им делител в тях на практика действа като при случая с взаимно прости числа.

Ами да, повечето сме получили $\frac{1}{21}$ като отговор, само че врътката е дали е трябвало да го напишем с вариации или комбинации (аз съм го писал с комбинации). До колкото разбрах, официалното решение е с вариация. Реално се получава един и същи отговор понеже не можем да ползваме еднакви картички и при комбинацията просто се съкраща отгоре и отдолу и се получава също $\frac{1}{21}$. Повечето в училище са писали комбинация. Доста малко хора вариация. Единият учител до последно твърдеше, че е вариация, обаче вчера се разбра, че май са приели всички решения (без значение дали е комбинация, или вариация), стига отговорът да е същият. (Специално аз на тази задача съм получил $6$ т., предполагам от А) са взели на повечето 1 т. защото отговорът е различен с комбинация и вариация.)

И така, направих една интересна статистика (за СМГ):
От общо $126$ деветокласника:
Максимум брой точки ($21$) имат: $8$ деветокласника
Максимум брой точки на $3$-та задача (въпросната, за която говорим, / $7$ т.) имат: $17$ човека
$20.50$ т. има: $1$ деветокласник
$20$ т. имат: $34$ деветокласници (включително и аз)
Деветокласниците, които имат $20$ т. и имат $6$ т. на $3$ задача са: $33$
Броят деветокласници, които ще се класират за областен кръг ([tex]\ge 16[/tex]): $84$ деветокласници
Деветокласници, които се влияят от това да се класират за областен кръг, ако имаха $7$ т, вместо $6$: $1$.

Общо взето отворих тази тема, понеже много хора се чудиха дали редът има значение. Всички хора получиха на листчето с въпроси: Без коментар. Разбрах, че в други училища са им отговорили, че редът нямало значение. И стана голяма каша за някои. Учудващо не много говориха за това и бях леко изненадан. Затова и отворих тази тема, за да махнем недуразуменията. Сред нас учениците, тенденцията беше, че условието не е написано добре (някои бяха бесни, че заради "четене с разбиране" няма да се класират, което за щастие не им се случи, понеже са приели повечето решения, които получават същия отговор). Благодаря на всички, които се включиха в темата.

[batsev]

Според мен изборът (1, [tex]\frac{1}{2}[/tex], [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]\frac{1}{4}[/tex], [tex]\frac{1}{5}[/tex]) е абсолютно същия като (1, [tex]\frac{1}{2}[/tex], [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]\frac{1}{5}[/tex], [tex]\frac{1}{4}[/tex]), т.е. говорим за комбинация. И тогава всички начини са [tex]C^{5 }_{9 }[/tex] = [tex]\frac{9.8.7.6}{4!}[/tex] = 126, а всички интересни избори са [tex]C^{2 }_{4 }[/tex] (другите 3 са задължителни) = 6. Или вероятност [tex]\frac{6}{126}[/tex]. Ако го вземем като вариация, сметките са описани точно от колегите общ брой 120.126 и "интересни" [tex]C^{2 }_{4 }[/tex]. 5! = 6.120. Но да го вземем вариация ще означава, че ако сложим 5 деца да теглят 5 от 35, то изборът (1, 2, 3, 4, 5) ще е различен от изборът (5, 4, 3, 2, 1).

[tryagainD]

Задача $3$
Върху $9$ картички са записани числата от множеството $\{ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ - по едно число върху картичка. Всяко от пет деца избира и взима една от картичките. Ще наречем избор "интересен", ако произведението на петте избрани числа е равно на $1$.
а) По колко различни начина децата могат да изберат $5$ картички?
б) От кои картички се получава "интересен" избор?
в) Каква е вероятността децата да са направили "интересен" избор?

Искам да ви питам как тълкувате условието? Според вас редът има ли значение? Явих се на тазгодишните задачи. Неприятно съм изненадан и от отговора на въпроса ми по задачата - "Без коментар", така и че съм писал единия вариант, а *вярното* решение е по-другия начин. Нарочно не казвам кой точно. Искам честното ви мнение.

На мен ли ми куца четенето с разбиране или условието не е написано много ясно. Както на мен, така и на повечето ми съученици отговориха с "Без коментар". Явно от условието се подразбира. За съжаление аз не го подразбрах.
Условието съм го преписал едно към едно.

P.S.
И по двата начина отговорите се получават едни и същи, понеже по единия начин ще се съкратят факториелите, а по другия изобщо няма да ги има. Но все пак мисля, че за верен отговор ще ми дадат малко точки.
Разбрах, че е имало проблем и с $3$ задача $4$ клас.

И аз допуснах тази "грешка". Когато попитах учителя, той се учуди, но в последствие каза, че понеже са деца значи се различавали и следователно реда имал значение. Аз също смятам, че въобще не става ясно от условието.

[Гост]

Според мен изборът (1, [tex]\frac{1}{2}[/tex], [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]\frac{1}{4}[/tex], [tex]\frac{1}{5}[/tex]) е абсолютно същия като (1, [tex]\frac{1}{2}[/tex], [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]\frac{1}{5}[/tex], [tex]\frac{1}{4}[/tex]), т.е. говорим за комбинация. И тогава всички начини са [tex]C^{5 }_{9 }[/tex] = [tex]\frac{9.8.7.6}{4!}[/tex] = 126, а всички интересни избори са [tex]C^{2 }_{4 }[/tex] (другите 3 са задължителни) = 6. Или вероятност [tex]\frac{6}{126}[/tex]. Ако го вземем като вариация, сметките са описани точно от колегите общ брой 120.126 и "интересни" [tex]C^{2 }_{4 }[/tex]. 5! = 6.120. Но да го вземем вариация ще означава, че ако сложим 5 деца да теглят 5 от 35, то изборът (1, 2, 3, 4, 5) ще е различен от изборът (5, 4, 3, 2, 1).

Сега погледнах за последно и окончателно официалното решение. Навсякъде е с вариации.
P.S. И аз мислех, че е комбинация.

[Genie_Almo]

Специално за подточка в)

Разбира се, че са комбинции! Аргументът, че "понеже са деца значи се различавали и следователно реда имал значение", е просто смехотворен. Значи, ако бяха "пънове" или "миньони", това потенциално можеше да доведе до различно решение?! Тук основният въпрос е дали изборът е случаен, или не е случаен. Това не се разбира много добре от условието, защото "всяко от пет деца избира и взима една от картичките". Знае ли, или не знае детето какво избира?

Но ако приемем, че всяко дете избира по случаен начин, поради комутативното свойство на умножението, редът на избиране не е определящ за това дали изборът е "интересен". Задачата се свежда до класическо тото, т.е. комбинации. Включването на реда като компонент просто ще доведе до напълно излишно умножаване и делене с едно и също число, което само ще потвърди, че редът всъщност наистина няма значение.