трудна

[martin123456]

Нека [tex]f(x)=3^x-2x-1[/tex].
Нека [tex]a_1,a_2,\ldots,a_{17} \in [0,2][/tex] и [tex]a_1+a_2+\ldots+a_{17}=24[/tex].
Докажете, че [tex]\exist a_i, a_j, a_k[/tex], така че [tex]f(a_i),f(a_j),f(a_k)[/tex] са страни на триъгълник.

[nevrodermit]

[tex]f(x)=3^x-2x-1\Rightarrow f'(x)=3^x\ln{x}-2\Rightarrow f''(x)=3^x(\ln{3})^2[/tex]. Също [tex]f(0)=f(1)=0, f(2)=4[/tex]
Очевидно, за точките [tex]a_i[/tex], които са в интервала [tex][0,1][/tex] функцията има неположителни стойности и значи те не могат да са страни на триъгълник.
Нека [tex]a_i\le a_j \Leftrightarrow i\le j[/tex] и нека имаме [tex]k[/tex] точки [tex]a_i[/tex] в интервала [tex][0,1][/tex]. Тогава [tex]24=\sum{a_i}=\sum_{i\le k}a_i+\sum_{i>k}a_i\le k+(17-k)2=34-k\Rightarrow k\le 10[/tex]. Освен това [tex]\sum_{i\ge k+1}a_i\ge 24-k[/tex]. Тъй като функцията е изпълнала, от Йенсен, получаваме [tex]f(\frac{\sum_{i\ge k+1}a_i}{17-k})\le \frac{\sum_{i\ge k+1}f(a_i)}{17-k}[/tex]. Тъй като функцията расте за [tex]x>1[/tex] получаваме [tex]f(\frac{24-k}{17-k})\le \frac{\sum_{i\ge k+1}f(a_i)}{17-k}[/tex].

Три положителни числа [tex]a, b, c[/tex] образуват триъгълник, ако сумата на двете по-малки е по-голяма от най-голямото число.

Нека това не е вярно за [tex]f(a_i), i\ge k+1[/tex], т.е. [tex]f(a_i)+f(a_{i+1})\le f(a_{i+1})[/tex]. Разписваме тези неравенства:
[tex]f(a_{k+1})+f(a_{k+2})\le f(a_{k+3})[/tex]
[tex]f(a_{k+2})+f(a_{k+3})\le f(a_{k+4})[/tex]
[tex]\cdots[/tex]
[tex]f(a_{14})+f(a_{15})\le f(a_{16})[/tex]
[tex]f(a_{15})+f(a_{16})\le f(a_{17})[/tex]
Като ги съберем получаваме
[tex]f(a_{k+1})+2\sum_{15\ge i\ge k+2}f(a_i)+f(a_{16})\le \sum_{i\ge k+3}f(a_i)\Rightarrow f(a_{k+2})+f(\frac{24-k}{17-k})(17-k)-f(a_{16})-f(a_{17})\le f(a_{17})[/tex].

След изследване на функцията [tex]f(\frac{24-k}{17-k})(17-k)[/tex] се оказва, че расте за [tex]k\in[0,10][/tex] и значи най-голямата и стойност е [tex]f(2)7=28[/tex] и значи [tex]f(a_{k+2})+28 \le f(a_{16})+2f(a_{17})[/tex], което е невъзможно, понеже [tex]4\ge f(a_i)>0[/tex] и сумата им е [tex]24[/tex].

Надявам се да не съм объркал нещо