Интересна задача

[Гост]

Госпожата ми по математика ми я даде от някаква стара книга, каза забавлявай се, но не мога да я реша. Моля за помощ, (без да си присвоявам решението).

[Гост]

Грешна снимка. Това е задачата.
137.
Иначе и на тази граница се мъчех, но wolframalpha и photomath не я решават.

[ptj]

Явно е, че задачата е за индукция.

Извади почленно (левите и десните страни на равенствата в дадения запис и после ги приравни) съответно за [tex]n[/tex] и [tex](n-1)[/tex] и се опитай да докажеш полученото.

[KOPMOPAH]

Може и без индукция. Аз бих я решил така:

$\frac 1{\log_ax.\log_ax^2}+\frac 1{\log_ax^2.\log_ax^3}+\cdots+\frac 1{\log_ax^n.\log_ax^{n+1}}=\frac 1{\log_ax.2\log_ax}+\frac 1{2\log_ax.3\log_ax}+\cdots+\frac 1{n\log_ax.(n+1)\log_ax}=$

$=\left(\frac 1{\log_ax}\right)^2\left(\frac 1{1.2}+\frac 1{2.3}+\cdots+\frac 1{n.(n+1)}\right)= \left(\frac 1{\log_ax}\right)^2\left(\frac 11-\cancel{\frac 12}+\cancel{\frac 12}-\cancel{\frac 13}+\cdots+\cancel{\frac 1n}-\frac 1{n+1}\right)=\left(\frac 1{\log_ax}\right)^2\left(1-\frac 1{n+1}\right)=\frac n{n+1}\left(\frac 1{\log_ax}\right)^2=\frac n{n+1}\left(\log_xa\right)^2=\cdots$

[Гост]

Може и без индукция. Аз бих я решил така:

$\frac 1{\log_ax.\log_ax^2}+\frac 1{\log_ax^2.\log_ax^3}+\cdots+\frac 1{\log_ax^n.\log_ax^{n+1}}=\frac 1{\log_ax.2\log_ax}+\frac 1{2\log_ax.3\log_ax}+\cdots+\frac 1{n\log_ax.(n+1)\log_ax}=$

$=\left(\frac 1{\log_ax}\right)^2\left(\frac 1{1.2}+\frac 1{2.3}+\cdots+\frac 1{n.(n+1)}\right)= \left(\frac 1{\log_ax}\right)^2\left(\frac 11-\cancel{\frac 12}+\cancel{\frac 12}-\cancel{\frac 13}+\cdots+\cancel{\frac 1n}-\frac 1{n+1}\right)=\left(\frac 1{\log_ax}\right)^2\left(1-\frac 1{n+1}\right)=\frac n{n+1}\left(\frac 1{\log_ax}\right)^2=\frac n{n+1}\left(\log_xa\right)^2=\cdots$

Така се решава!

[batsev]

Другата интересна