интересни задачи

[Гост]

1.Даден е ∆ АВС със страни АB = 5 cm, AC = 4 см и < ВАС = 60°.
а) Да се намерят радиусите на описаната около триъгълника и на вписаната в него окръжности.
б) В ∆ АВС е вписан успоредник АМРQ така, че М є АВ, Р є ВС, Q є АС. Ако АМ =х, да се намери за коя стойност на х лицето на успоредника е най-голямо и да се пресметне тази най-голяма стойност.

2.Даден е трапец ABCD (AB || CD, AB > CD), около който може да се опише окръжност. Бедрото AD и основата CD имат дължина b и а. Ъгъл BAD = α, . Да се намери:
а) радиусът на описаната около трапеца окръжност;
б) за коя стойност на а лицето на трапеца е най-голямо и да се пресметне тази най-голяма стойност

[KOPMOPAH]

Интересна задача - 1.png (6.61 KiB) Прегледано 351 пъти

Страната $BC$ се намира по косинусова теорема:$$BC^2=AC^2+AB^2-2AB\cdot AC\cos 60^\circ=\cdots$$
Радиусът на описаната окръжност се намира по синусова теорема:$$\frac {BC}{\sin 60^\circ}=2R$$
Радиусът на вписаната окръжност се намира чрез изразяване на лицето по два начина:$$S=\frac{AB.AC\sin 60^\circ}2=pr\Rightarrow=r=\frac{AB.AC\sin 60^\circ}{2p}=\cdots$$

Що се отнася до лицето на вписания успоредник, то разсъждаваме така:$$S_{AMPQ}=xy\sin 60^\circ,~~\triangle ABC \approx\triangle MBP\Rightarrow \frac{5-x}{5}=\frac{y}{4}\Rightarrow y=\frac {4(5-x)}{5}, ~~S_{AMPQ}=\frac45(5x-x^2).\frac{\sqrt 3}2$$Максимумът на израза в скобките се получава при $x=2,5$