равнобедрен трапец

[Гост]

Трябва да се направи напоителен канал с напречно сечение равнобедрен трапец, който има дълбочина и и лице на сечението S (S определя дебита, пропускателната способност на канала). Да се определи ъгълът, който наклонената стена на канала трябва да сключва с хоризонталната повърхност, тъй че за бетонирането на дъното и стените да се употреби най-малко материал.

[peyo]

Трябва да се направи напоителен канал с напречно сечение равнобедрен трапец, който има дълбочина и и лице на сечението S (S определя дебита, пропускателната способност на канала). Да се определи ъгълът, който наклонената стена на канала трябва да сключва с хоризонталната повърхност, тъй че за бетонирането на дъното и стените да се употреби най-малко материал.

Тази задача се оказа по-интересна отколкото си мислих!

Дадена е константа дълбочина $h$ и лице $S$. Търсим минимална обща дължина на дъното и двете страни.

Нека дъното е $d$, a страните $s$ и ъгъла отвътре между страната и дъното $\alpha$.

[tex]s =\frac{h}{cos(\alpha)}[/tex]
$L = d+ 2 s = d + \frac{2h}{sin(\alpha)}$

Лицето е:

$S = d h - h^2\ cos(\alpha)$

$s$ и $h$ са константи, екстрактваме $d$

$S/h + h\ cos(\alpha)= d $

$L = S/h + h\ cos(\alpha) + \frac{2h}{sin(\alpha)}$

[tex]\frac{dL}{d\alpha} = - h \sin{\left(a \right)} - \frac{2 h \cos{\left(a \right)}}{\sin^{2}{\left(a \right)}}[/tex]

[tex]\frac{dL}{d\alpha} = 0[/tex]

[tex]0 = - \sin{\left(a \right)} - \frac{2 \cos{\left(a \right)}}{\sin^{2}{\left(a \right)}}[/tex]

[tex]\sin{\left(a \right)} =- \frac{2 \cos{\left(a \right)}}{\sin^{2}{\left(a \right)}}[/tex]

[tex]\sin ^{3}{\left(a \right)} =- 2 \cos{\left(a \right)}[/tex]

И сега остава да решим това тригонометрично уравнение. Хммммммм......

In [86]: nsolve( sin(a)**3 + 2*cos(a),2)
Out[86]: 1.97169573129486

In [87]: math.degrees(1.97169573129486)
Out[87]: 112.9698438871559 [tex]^\circ[/tex]

[ammornil]

Задачата е решавана и ТУК

Острият ъгъл на трапеца трябва да е $60^{\circ}$

Нека дъното е $d$, a страните $s$ и ъгъла отвътре между страната и дъното $\alpha$.
[tex]s =\frac{h}{cos(\alpha)}[/tex]

Така дефиниран $\alpha$ е тъп ъгъл, защото каналът лежи на малката си основа, което прави горния израз неверен, защото връща отрицателна стойност за дължина. Това не е от такова значения в случая, защото $s =\frac{h}{\sin(\alpha)}$

[peyo]

Задачата е решавана и ТУК

Острият ъгъл на трапеца трябва да е $60^{\circ}$

Нека дъното е $d$, a страните $s$ и ъгъла отвътре между страната и дъното $\alpha$.
[tex]s =\frac{h}{cos(\alpha)}[/tex]

Така дефиниран $\alpha$ е тъп ъгъл, защото каналът лежи на малката си основа, което прави горния израз неверен, защото връща отрицателна стойност за дължина. Това не е от такова значения в случая, защото $s =\frac{h}{\sin(\alpha)}$

Мда, моето решение е грешно, което прoверих със симулация в geogebra. Нещо обърках с тези ъгли, което е жалко, защото щеше да е забавно да стигнем до тригонометрично уравнение, което не може да се реши точно.