задачки

[Гост]

1. Измежду всички успоредници с даден периметър 2р и остър ъгъл α, да се намери този, който има най-голямо лице и да се пресметне лицето му.

2.От метално кълбо с радиус R трябва да се изреже правилна четириъгълна призма с най-голям обем. Намерете измеренията на призмата.

[Гост]

1. Използва се неравенство СГ-СА и свойство на синуса: $S=a(p-a)sin\alpha\leq\left(\frac{a+p-a}{2}\right)^2sin90^\circ=\frac{p^2}{4}$ - достига се при $a=p-a\Rightarrow a=\frac{p}{2}$ и $\alpha=90^\circ$ - квадрат.

2. Тук се използва неравенството на Коши-Буняковски-Шварц $(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)$ и, разбира се СГ-СА: $\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2=R^2, V=abc\leq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\leq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)\frac{3.(a^2+b^2+c^2)}{9}=\frac{1}{9}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq\frac{1}{9}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)=\frac{1}{9}\sqrt{3.4R^2}.4R^2=\frac{8\sqrt{3}}{9}R^3$. Равенство се достига при $a=b=c=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$

[Гост]

СА - СГ-page-001.jpg (82.34 KiB) Прегледано 385 пъти