2025 USA TST, P6 of 6

[Гост]

Да се докаже, че съществува реално число $\epsilon > 0$, такова че съществуват безкрайно много редици от цели числа $0 < a_{1} < a_{2} < ... < a_{2025}$ изпълняващи следното твърдение:
$gcd(a_{1}^2 + 1, a_{2}^2 + 1, ..., a_{2025}^2 + 1) > a_{2025}^{1+\epsilon}$

Стори ми се интересна. Нямам решение засега.

[ptj]

Ролята на [tex]\epsilon[/tex] веднага може да се игнорира, защото е достатъчно да се докаже
[tex]gcd(a_{1}^2 + 1, a_{2}^2 + 1, ..., a_{2025}^2 + 1) > a_{2025}[/tex].

Понеже в задачата става въпрос за цели числа, то горното ще е еквивалентно на

[tex]gcd(a_{1}^2 + 1, a_{2}^2 + 1, ..., a_{2025}^2 + 1) \ge a_{2025}+1[/tex].

Нека [tex]\delta =log_{a_{2025}}(a_{2025}+1)>1[/tex], тогава [tex]\delta-1>0[/tex] и съществува поне едно реално [tex]\epsilon[/tex], [tex]\delta-1> \epsilon >0[/tex]

сл. [tex]a_{2025}+1>a_{2025}^{1+ \epsilon}[/tex]

П.П.
Имам идея за закономерност в периодичността на делителите на първите n на брой (точни квадрати +1) и какво можем да кажем за следващите n. Нейното описване и изследване е трудно да стане за няколко часа (поне за мен). Всичко е по-скоро алгоритъм, с който може да бъде намерено първото най-малко решение и то с помощта на софтуер... За съжаление първите 33 (квадрати+1) не изпълнават условието даже и за 3 числа. Ако задачата има решение , то вероятно ще е с доста големи числа...
Също не всички прости числа са сред делителите - липсват 7,11,19 (дотук).

[pal702004]

ptj Няма нищо вярно в това, което си написал. Ролята на $\epsilon$ е изключително важна. Аз мога да докажа, че съществуват безброй много редици за които $\gcd>1000a_{2025}$, но това не е достатъчно за $a^{\epsilon}$ при фиксирано $\epsilon>1$. Иначе примерите са елементарни, достатъчно е да умножим 11 различни нечетни прости от вида $4k+1$ (това ще е $gcd$). Сравнението $x^2 \equiv -1 \pmod{p_1p_2\ldots p_k}$ има точно $2^k$ решения, всички те, разбира се по-малки от $p_1p_2\ldots p_k-\sqrt{p_1p_2\ldots p_k}$, но това не е достатъчно.

Ясно е, че тук не е важна годината 2025, а принципа. Да го направим за 8 числа. Сравнението $x^2 \equiv -1 \pmod{5\cdot 13\cdot 17}$ има 8 решения:

$47,242,268,463,642,837,863,1058$ и всички те са по-малки от $1105$

[ptj]

Прочети пак внимателно написаното от мен:

Ако [tex]x[/tex] е естествено число, в отворения интервал [tex](x;x+1)[/tex] има безброй много реални числа, можещи да се представят във вида [tex]x^{1+ \epsilon}[/tex], където [tex]\epsilon>0[/tex].

[grav]

Прочети пак внимателно написаното от мен:

Ако [tex]x[/tex] е естествено число, в отворения интервал [tex](x;x+1)[/tex] има безброй много реални числа, можещи да се представят във вида [tex]x^{1+ \epsilon}[/tex], където [tex]\epsilon>0[/tex].

А ти прочете ли какво си написал?

[pal702004]

Прочети внимателно условието. Съществува констана $\epsilon$, която е една и съща за всички безрой много редици. Не можеш за всяка отделна редица да си наместваш $\epsilon$. Константа. Казваш, например $\epsilon=\frac{1}{100}$. Можеш ли да твърдиш, че съществуват безброй много естествени $x=a_{2025}$ такива, че

$x+1>x^{\frac{101}{100}}$

или че $1000x>x^{\frac{101}{100}}$ (моят пример)

[ptj]

ptj Няма нищо вярно в това, което си написал. Ролята на $\epsilon$ е изключително важна. Аз мога да докажа, че съществуват безброй много редици за които $\gcd>1000a_{2025}$, но това не е достатъчно за $a^{\epsilon}$ при фиксирано $\epsilon>1$. Иначе примерите са елементарни, достатъчно е да умножим 11 различни нечетни прости от вида $4k+1$ (това ще е $gcd$). Сравнението $x^2 \equiv -1 \pmod{p_1p_2\ldots p_k}$ има точно $2^k$ решения, всички те, разбира се по-малки от $p_1p_2\ldots p_k-\sqrt{p_1p_2\ldots p_k}$, но това не е достатъчно.

Ясно е, че тук не е важна годината 2025, а принципа. Да го направим за 8 числа. Сравнението $x^2 \equiv -1 \pmod{5\cdot 13\cdot 17}$ има 8 решения:

$47,242,268,463,642,837,863,1058$ и всички те са по-малки от $1105$

ОК.
Мисля, че разбрах. Искаш да кажеш (текста в зелено) , че редицата от такива [tex]\epsilon[/tex] клони към нула с нарастването на [tex]a_2025[/tex].

[pal702004]

ptj Няма нищо вярно в това, което си написал. Ролята на $\epsilon$ е изключително важна. Аз мога да докажа, че съществуват безброй много редици за които $\gcd>1000a_{2025}$, но това не е достатъчно за $a^{\epsilon}$ при фиксирано $\epsilon>1$. Иначе примерите са елементарни, достатъчно е да умножим 11 различни нечетни прости от вида $4k+1$ (това ще е $gcd$). Сравнението $x^2 \equiv -1 \pmod{p_1p_2\ldots p_k}$ има точно $2^k$ решения, всички те, разбира се по-малки от $p_1p_2\ldots p_k-\sqrt{p_1p_2\ldots p_k}$, но това не е достатъчно.

Ясно е, че тук не е важна годината 2025, а принципа. Да го направим за 8 числа. Сравнението $x^2 \equiv -1 \pmod{5\cdot 13\cdot 17}$ има 8 решения:

$47,242,268,463,642,837,863,1058$ и всички те са по-малки от $1105$

ОК.
Мисля, че разбрах. Искаш да кажеш (текста в зелено) , че редицата от такива [tex]\epsilon[/tex] клони към нула с нарастването на [tex]a_{2025}[/tex].

Именно.

[Гост]

Който има интерес, може да разгледа различни решения тук
https://artofproblemsolving.com/community/u175246h3477769p33692821