Система уравнения

[ins-]

Да се реши системата:

[tex]\begin{array}{|l} x^3 - 2 x y z + y^3 = \frac{1}{2} \\ y^3 - 2 x y z + z^3 = 1 \\ z^3 - 2 x y z + x^3 = -\frac{3}{2} \end{array}[/tex]

[pal702004]

Няма как да не се види, че $\frac 1 2+1-\frac 3 2=0$, така че ги събираме, получаваме

$x^3+y^3+z^3-3xyz=0$. Дали я знаят децата тази факторизация

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0$

Условието вторият множител да е нула е равносилно на $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$, което води до $x=y=z$ и не е решение на системата. Така че

[tex]\begin{array}{|l} x + y +z=0 \\ 2(x^3-2xyz+y^3)=y^3-2xyz+z^3 \quad(=1) \end{array}[/tex]

След $z=-x-y$ и опростяване се получава $3x^3+5x^2y+5xy^2+2y^3=0$

или $(3x+2y)(x^2+xy+y^2)=0$. Тоест, $3x=-2y$. Вече е чиста аритметика

$x=-\dfrac{2}{\sqrt[3]{14}},\;y=\dfrac{3}{\sqrt[3]{14}},\; z=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{14}}$

(надявам се задачата да е в реални числа).

[ins-]

В реални числа е.
Преди "Вече е чиста аритметика" може да се процедира и по малко по-различен начин.
Би могло да се направи и уточнението - Изразът: [tex]x^2+xy+y^2[/tex] е единствено равен на [tex]0[/tex], ако [tex]x=y=0[/tex], което от другите уравнения на системата се вижда, че е невъзможно.