Задача 11 клас

[Гост]

Върху страните AB и BC на успоредника ABCD са взети съответно точките P и Q. Прваите DP и AC се пресичат в т. М, а правите DQ и АC се пресичат в точката N. Намерете отношението AM:MN:NC, ако AP:AB = x и BQ:BC=y.

[Евва]

[tex]\frac{x(2-y)}{1+xy-x}[/tex] : 1 : [tex]\frac{1+xy-x}{(1+x)(1-y)}[/tex]

Това ли е отговора ?

[Гост]

Отговор:
(x)/(x+1) : (1-x+xy)/(x+1)(2-x) : (1-x)/(2-x)

[Евва]

Сигурна съм ,че има печатна грешка в дадения отговор .
Според мен вместо (2-х) трябва да е (2-у) и
вместо (1-х) трябва да е (1-у) .

[Евва]

Нека AB=a и BC=b ,тогава AP=ax ,PB=a-ax и BQ=by , CQ=b-by .
AM:MN:NC =m:p:t =?
[tex]\triangle[/tex]APM[tex]\approx \triangle[/tex]CDM (1 признак) [tex]\frac{AP}{CD}= \frac{AM}{CM} ; \frac{ax}{a}= \frac{m}{p+t}[/tex] ; m=px+tx (1)

[tex]\triangle[/tex]NQC[tex]\approx \triangle[/tex]NDA (1 признак) [tex]\frac{CQ}{AD}= \frac{CN}{AN}; \frac{b-by}{b} = \frac{t}{m+p}[/tex] ;t=m+p -my- py (2)

Да приемем p за параметър и от двете ур-я да намерим m и t . Зам. (1) в (2)
t=px+tx+p- (px+tx)y-py (t=?)
t=[tex]\frac{(1+x)p(1-y)}{1+xy-x}[/tex] (3)
Връщаме се към (1)
m=[tex]\frac{px}{1}+ \frac{x(1+x)p(1-y)}{1+xy-x}[/tex]

m=[tex]\frac{px(2-y)}{1+xy-x}[/tex] (4)

Може да имам грешка ,но сега разсъждавам така :
m:p:t = [tex]\frac{px(2-y)}{1+xy-x} : p : \frac{(1+x)p(1-y)}{1+xy-x}[/tex] = [tex]\frac{x(2-y)}{1+xy-x} :1 : \frac{(1+x)(1-y)}{1+xy-x}[/tex]

[stefanb]

[tex]\triangle[/tex]AMP [tex]\approx \triangle[/tex]MCD
MC/AM=(AC-AM)/AM=AC/AM-1=CD/AP=1/x
AC/AM=1/x+1=(1+x)/x
1) AM=AC*x/(1+x)
[tex]\triangle[/tex]CNQ[tex]\approx \triangle[/tex]AND
CN/AN=CQ/AD
BQ/BC=y
BQ=BC*y
CQ=BC-BQ= BC(1-y)
аналогично на 1)
2) CN=AC(1-y)/(2-y)
3)MN=AC-AM-CN=AC-AC*x/(1-x)-AC(1-y)/(2-y)=AC((1-x+xy)/((1+x)(2-y)))
AM:MN:CN=x/(1+x):(1-x+xy)/((1+x)(2-y)):(1-y)/(2-y)