Областен кръг 8.2.2025 9клас

[Гост]

Според мен решенията са:
1. h=0
2.пресечната точка на двете окръжности лежи на правата KS
3.(2k+1)x
4.4501

[Гост]

[quote="Гост"]Според мен решенията са:
1. h=0. Получава се квадрат.
2.пресечната точка на трите окръжности лежи на правата KS и се нарича точка на Мигел.
3.f(x)=(2k+1)x;k[tex]\epsilon[/tex]N[tex]^\circ[/tex]
4.1345=[tex]{4 \choose 3}[/tex]+[tex]{6 \choose 3}[/tex]+[tex]{8 \choose 3}[/tex]+[tex]{10 \choose 3}[/tex]+[tex]{12 \choose 3}[/tex]+[tex]{14 \choose 3}[/tex]+[tex]{16 \choose 3}[/tex]+1
Най-лошия случай е да вземем 4 картончета със сума 2, 20 картончета със сума 4,...560-със сума 14=1344. Каквото и друго картонче да вземем ще има две, чиято разлика не се дели на 7.

[ptj]

1-ва.) [tex]f(x)=-g(x)[/tex] сл. двете графики са симетрични спрямо абцисната ос.

Една права (абсисната ос) може да има или 0 или 1 или 2 точки с коя да е окръжност.

Тогава за конкретната задача трябва да разгледате само последните два случая:

1,) При една точка трябва и двете параболи да се допират в една и съща точка с абцисата. Тя не е решение, защото по определение всеки многоъгълник има поне 3 върха.

2.) При две точки това ще са точно корените на [tex]f(x)=-g(x)=0[/tex] .

Очевидно правата свързваща двата върха на параболите ще е перпендикулярна на основата (заради симетрията).

Тя пресича абцисата в средата на отсечката свързваща корените на [tex]f(x)=0[/tex] .

Тази тази точка е еднакво разстояние както от двата върха на параболите (симетрията) , така и от двата корена (свойство на параболата), т.е. тя ще е точно центъра на търсената окръжност.

Четириъгълник с взаимно равни (диаметри) и перпендикулярни помежду си диагонали е квадрат.

Съответно ще трябва е изпълнено [tex]R= f( \frac{-b}{2a})= |\frac{x_1-x_2}{2}|[/tex].

[tex]h-1=f(1)=\frac{(1+ \sqrt{1-h})-(1- \sqrt{1-h})}{2}= \sqrt{1-h}[/tex], където [tex]h \le 1[/tex]

[tex]h^2-2h+1=1-h[/tex]

[tex]h(h-1)=0[/tex].

[tex]h=1[/tex] не е решение, защото тогава корените на [tex]f(x)=0[/tex] съвпадат (вече разгледан и отхвърлен случай).

Окончателно решение е само [tex]h=0[/tex].