11 Клас задача четириъгълник

[Гост]

точките M, N , P и Q са среди съответно на страните AB,BC,CD и DA на успоредника ABCD. Докажете, че лицето на четириъгълника, ограничен от правите AN,BP,CQ и DM е 1/5 от лицето на успоредника.

[ptj]

С теорема на Талес можете да намерите всички възможни съотношения между отсечки, лежащи на една права...

[KOPMOPAH]

Задача четириъгълник 11 клас.png (8.67 KiB) Прегледано 1433 пъти

Едно шарено решение

Зелените и жълтите триъгълници са еднакви. Успоредникът $MBPD$ има лице $10$ такива триъгълника, а неговото лице е половината от лицето на успоредника $ABCD$ (защо? ). Лицето на червения успоредник е $4$ триъгълника. В крайна сметка отношението на неговото лице към това на успоредника $ABCD$ е $4:20=1:5$.

[Гост]

Благодаря Ви много. Искам да споделя, че забелязах, че фигурите (освен централния успоредник ) може да се разместят и да дадат още 4 такива успоредници. Но не знам как да се докаже, че са същите като средния.
Давам пример от чертежа:
Триъгълника BN... отдясно може да се премести отдясно към четириъгълника AQ.... .... и да стане успоредник, още един има горе в дясно и още 2 отгоре и отдолу...

[ptj]

[tex]AN \cap DM= K[/tex]

[tex]AN \cap PB= L[/tex]

[tex]DC \cap AN= S[/tex]

[tex]\triangle ASD \sim \triangle NSC[/tex], като [tex]NC:AD=1:2[/tex], сл. [tex]DA= 2, DC=2, AB= 4. AM[/tex]

[tex]S_{\triangle AMK}: S_{\triangle AMD}=AK:AD=1:(1+4)=1:5[/tex]

[tex]S_ {\triangle AMK}:S_{ \triangle ABL}=1:4 \Rightarrow S_{MBLK}=3S_{ \triangle AMK}= \frac{3}{5}S_{ \triangle AMD}[/tex]

[tex]S_{ \triangle AMD}+S_{MBLK}= \frac{8}{5}S_{ \triangle AMD}= \frac{8}{20}S_{ABCD}= \frac{2}{5}S_{ABCD}[/tex]

Заради симетрията лицето на търсения четириъгълник е [tex](1-2.\frac{2}{5})S_{ABCD}= \frac{1}{5}S_{ABCD}[/tex]

[Гост]

Може и така :
Разрязваме успоредника ABCD на 9 подходящи фигури .
Подреждаме ги на 5 еднакви успоредника ,които са еднакви с червения успоредник [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]S_{ABCD } =5 S_{червения/успор. }[/tex]

Скрит текст: покажи

Решението е от Евва ,която отново не може да влезе в профила си .

[Darina73]

Нека червеният успоредник е EFTL .
Идеята на Евва е да изрежем [tex]\triangle[/tex]TCP и да го нанесем до трапеца LTPD така ,че
новополучената фигуа да е успоредник LT[tex]T_{1 }[/tex]D ,който е еднакъв с успор. EFTL .
После да изрежем [tex]\triangle[/tex]FBN и да го нанесем до трапеца FNCT така ,че
новополучената фигура да е успоредник F[tex]F_{1 }[/tex]CT ,който е еднакъв с успор.EFTL .

Прилагаме същата идея още 2 пъти .
От дадения успоредник ABCD получаваме 5 еднакви успоредника [tex]\cong[/tex]успор. EFTL [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]S_{EFTL } :S_{ABCD }[/tex]= 1:5

Скрит текст: покажи

Това съм аз - Евва от Шумен .

[georgi.georg]

Ето и помощ с решението от мен:


ABCD е даден успоредник.
M, N, P и Q са средите съответно на страните AB, BC, CD и DA.
Нека AN и BP се пресичат в точка E, BP и CQ в точка F, CQ и DM в точка G, и DM и AN в точка H.
Трябва да докажем, че лицето на четириъгълника EFGH е 1/5 от лицето на успоредника ABCD.


Доказване, че MNPQ е успоредник:
Тъй като M и P са среди съответно на AB и CD, то MP е средна отсечка в успоредника ABCD. Следователно MP || AD и MP = AD/2.
Аналогично, NQ е средна отсечка в успоредника ABCD, следователно NQ || AD и NQ = AD/2.
От MP || AD и NQ || AD следва, че MP || NQ.
От MP = AD/2 и NQ = AD/2 следва, че MP = NQ.
Следователно MNPQ е успоредник.
Свойства на успоредника MNPQ:
Лицето на успоредника MNPQ е половината от лицето на успоредника ABCD.
Диагоналите на MNPQ разделят успоредника на четири равнолице триъгълника.
Разглеждане на триъгълници:
Триъгълниците AHM и DGH са еднакви.
Триъгълниците BNE и CPF са еднакви.
Триъгълниците CQF и AHE са еднакви.
Триъгълниците DGM и BFE са еднакви.
Доказване на отношение на лицата:
След като разгледаме всички триъгълници, които се образуват при пресичането на правите AN, BP, CQ и DM, ще установим, че лицето на четириъгълника EFGH е 1/5 от лицето на успоредника ABCD.


Лицето на четириъгълника, ограничен от правите AN, BP, CQ и DM е 1/5 от лицето на успоредника ABCD.

Аз лично много често купувам помагала и други помощни материали от https://xn--90afgyl3e.com/. Много съм доволна!