НСЕМ Проф. Борислав Боянов 2023

[Гост]

Какво е най-лесното решение?

[ptj]

Дали е най-лесно не знам, но един от начините е чрез векторно произведение.

[Гост]

$AD\cap BC=E$

$S_{DN_1E}=S_{N_1N_2E}=S_{N_2N_3E}=S_{N_3CE}$ и $S_{AM_1E}=S_{M_1M_2E}=S_{M_2M_3E}=S_{M_3BE}$ - равни основи, общи височини.

$\Rightarrow S_{AM_1N_1D}=S_{M_1M_2N_2N_1}=S_{M_2M_3N_3N_2}=S_{M_3BCN_3}=S_0$ - разлики на съответно равни лица, например $S_{M_2M_3N_3N_2}=S_{M_2M_3E}-S_{N_2N_3E}$

$S_{M_1M_3N_3N_1}=S_{M_1M_2N_2N_1}+S_{M_2M_3N_3N_2}=2S_0$

$S_{ABCD}=S_{AM_1N_1D}+S_{M_1M_2N_2N_1}+S_{M_2M_3N_3N_2}+S_{M_3BCN_3}=4S_0$

Така получаваме търсеното отношение.

[ptj]

Втория ред в доказателството изобщо не е ясен.

П.П. По принцип лице на четириъгълник може да смятате или като сума на лица на два триъгълника или чрез формулата [tex]\frac{d_1.d_2.sin( \varphi )}{2}[/tex].

[Гост]

Опитах да направя чертеж - не е много четлив, но...

Четириъгълник.png (58.74 KiB) Прегледано 1867 пъти

Червените линии са височините - общи за малките, съответно големите триъгълници. Големият четириъгълник се разделя на четири равнолицеви четириъгълника, всеки от които с лице - разлика от лицата на два триъгълника.

[Гост]

Screenshot_2.png (47.38 KiB) Прегледано 1867 пъти

[Гост]

Корекция на техническа грешка.

Screenshot_3.png (46.98 KiB) Прегледано 1864 пъти

[ptj]

Всичко е ОК. Грешката бе моя, защото не бях прочел правилно мястото на точка Е (мислех за пресечената точка на диагоналите). Доказателството е коректно.