Задача триъгълник и квадрати

[Гост]

оля за малко помощ.

[math10.com]

zad.png (64.22 KiB) Прегледано 660 пъти

Това е хубава задача за 7-ми клас.Основна задача за подготовка за олимпиада за 7-ми клас.
Задача:"Ако [tex]CM[/tex] е медиана в [tex]\triangle ABC[/tex] то [tex]CH[/tex] е височина в [tex]\triangle CPQ[/tex]"
На чертежа с еднакви цветове са равните отсечки.Има много еднакви триъгълници.
[tex]PQ=2CM=6[/tex]

[Darina73]

Скрит текст: покажи

Ако сте учили косинусовата теорема ,ти предлагам още едно решение .

Нека BC=a ,AC=b и [tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\gamma[/tex] .

[tex]\angle[/tex]PCQ= 360[tex]^\circ[/tex]- (90[tex]^\circ + \gamma+90 ^\circ[/tex])= 180[tex]^\circ - \gamma[/tex] (1)
([tex]\triangle[/tex]ABC cos T) [tex]AB^{2 } =a^{2 } +b^{2 } -2ab.cos \gamma[/tex] (2)

[tex]m_{c }[/tex]=CM=3 медиана в [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]m_{c } ^{2 }= \frac{2 a^{2 } +2b^{2 }- AB^{2 } }{4}[/tex] ; 9.4= [tex]2a^{2 } +2b^{2 } -AB^{2 }[/tex] [ виж (2) ]
36=[tex]2a^{2 } +2b^{2 } -a^{2 } -b^{2 } +2ab.cos \gamma[/tex]
36= [tex]a^{2 } +b^{2 }+2ab.cos \gamma[/tex] (3)

([tex]\triangle[/tex]CPQ cos T) [tex]PQ^{2 } =a^{2 } +b^{2 }-2ab.cos[180 ^\circ- \gamma][/tex]
[tex]PQ^{2 } =a^{2 } +b^{2 }+2ab.cos \gamma[/tex] (4)

От (3) и (4) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]PQ^{2 }[/tex]=36 т.е. PQ=6

[Гост]

Пише момчето 7 клас, нашия прилага косинусова теорема

[Гост]

Авторът не е писал, че е 7-ми клас и раздела е 9-12 клас , така че допуска такова решение.
От друга страна "math10" е предложил вариант с материал за 7-ми клас.
Задачата е хубава и приятна, като във ваианта за 7-ми клас е трудна.

[Гост]

Screenshot_1.png (31.67 KiB) Прегледано 574 пъти

[ptj]

Може да се докаже много лесно чрез вектори и ротация на [tex]90^\circ[/tex].

П.П. Използва, се че ротацията е еднаквост.