11 клас стереометрия

[Гост]

Задача от урока двустенен ъгъл, в учебника е решено с изразяване на синуса и с лица на еднакви триъгълници, но аз се опитвам с векторна база/изразяване на страните, но не става

[ammornil]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида. Ъгълът между околна стена и основа е $\beta$, а ъгълът между две съседни околни стени е $\delta$. Да се докаже, че $\sin{\beta}=\sqrt{2}\cos{\dfrac{\delta}{2}}$. $\\[12pt]$

Screenshot 2025-03-18 202652.png (45.82 KiB) Прегледано 441 пъти

$\\[12pt] ABCDM: \\[6pt] \quad M\notin{}p(ABCD), \quad AB=BC=CD=AD, AB\bot{}BC, BC\bot{}CD, \quad AM=BM=CM=DM \\[6pt]\quad AC\cap{}BD=O, AO=BO=CO=DO, \quad MO\bot{}p(ABCD) \\[6pt] K\in{}BC, AK=BK, \triangle{BCM}: \quad BM=CM \Rightarrow MK\bot{}BC \\[6pt] \because{}\begin{cases} AO=OC \\ BK=KC \end{cases} \Rightarrow OK \text{ е средна отсечка в } \triangle{ABC} \Rightarrow OK\|AB \Rightarrow OK\bot{}BC \\[6pt] \because{} \begin{cases}OK\bot{}BC \\ MK\bot{}BC \end{cases} \Rightarrow \angle{OKM}=\beta \\[6pt] P \in{}CM, DP\bot{}CM \\[6pt] \triangle{CDM}\cong{}\triangle{BCM} \because{}\begin{cases} CD=BC \\ CM \text{ обща} \\ BM=DM \end{cases} (\text{трети признак}) \Rightarrow DP=BP,\quad BP\bot{}CM \Rightarrow \angle{DPB}=\delta \\[6pt] \beta\in{}\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right), \quad \delta\in{}\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right) \\[6pt] \text{Нека } AB=a \Rightarrow \\ \quad AD=BC=CD=a,\quad AC=BD=a\sqrt{2},\quad BK=KC=OK=\dfrac{a}{2} \\[6pt] \triangle{MOK}: \quad MO=OK\cdot{}\tg{\beta}=\dfrac{a\cdot{}\tg{\beta}}{2}, \quad MK=\dfrac{OK}{\cos{\beta}}=\dfrac{a}{2\cdot{}\cos{\beta}} \\[6pt] \triangle{MKC}: \\[6pt] \quad MC=\sqrt{MK^{2}+KC^{2}}=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4\cos^{2}{\beta}}+\dfrac{a^{2}}{4}}=\dfrac{a}{2\cos{\beta}}\sqrt{1+\cos^{2}{\beta}} \\[6pt]\quad \sin{\angle{MCK}}=\dfrac{MK}{MC}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos^{2}{\beta}}}\\[6pt] \sin{\angle{MCK}}= \sin{\angle{BCP}} \\[6pt] \triangle{BPC}: \quad BP=AB\cdot{}\sin{\angle{BCP}}= \dfrac{a}{\sqrt{1+\cos^{2}{\beta}}} \\[6pt] \triangle{BDP}: \quad \text{Кос. т-ма:} \rightarrow BD^{2}= BP^{2} + DP^{2} -2\cdot{}BP\cdot{}DP\cdot{}\cos{\delta} \\[6pt] BP=DP \Rightarrow BD^{2}= 2\cdot{}BP^{2} -2\cdot{}BP^{2}\cdot{}\cos{\delta} \\[6pt] 2a^{2}= 2\dfrac{a^{2}}{1+\cos^{2}{\beta}}-2\dfrac{a^{2}}{1+\cos^{2}{\beta}}\cos{\delta} \quad |\div{}2a^{2}\ne{}0 \\[6pt] 1=\dfrac{1}{1+\cos^{2}{\beta}}-\dfrac{\cos{\delta}}{1+\cos^{2}{\beta}} \\[6pt] 1+\cos^{2}{\beta}=1-\cos{\delta} \\[6pt] \cos^{2}{\beta}=-\left(2\cos^{2}{\dfrac{\delta}{2}}-1\right) \\[6pt] 1-\cos^{2}{\beta}=2\cos^{2}{\dfrac{\delta}{2}} \\[6pt] \sin^{2}{\beta}= 2\cos^{2}{\dfrac{\delta}{2}} \quad |\sqrt{(\cdots{})} \\[6pt] \boxed{\quad \sin{\beta}=\sqrt{2}\cos{\dfrac{\delta}{2}} \quad }\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$\because{} \begin{cases} \beta\in{}\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right) \\[12pt] \delta\in{}\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sqrt{\sin^{2}{\beta}}=\sin{\beta} > 0 \\[12pt] \dfrac{\delta}{2}\in{}\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right) \Rightarrow \sqrt{\cos^{2}{\dfrac{\delta}{2}}}=\cos{\dfrac{\delta}{2}} > 0 \end{cases}\\[6pt] \because{} \beta < \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \sin{\beta}\ne 1 \Rightarrow \cos{\dfrac{\delta}{2}} \ne{}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \delta \ne \dfrac{\pi}{2}$

[S.B.]

Задача от урока двустенен ъгъл, в учебника е решено с изразяване на синуса и с лица на еднакви триъгълници, но аз се опитвам с векторна база/изразяване на страните, но не става

Без заглавие - 2025-03-18T181807.050.png (322.79 KiB) Прегледано 430 пъти

Още един поглед върху задачата :

Нека означим основният ръб с $a$,а ъгълът между околен ръб и основата на пирамидата означим с [tex]\alpha , \alpha \in (0;90 ^\circ)[/tex]
[tex]AC \cap BD = O,AC = BD = a \sqrt{2} ,OM \bot ABCD, MO = h[/tex]
Построявам [tex]BP \bot CM , DP \bot CM, \Rightarrow[/tex] равнината [tex]BDP \bot CM ,OP \in BDP \Rightarrow OP \bot CM[/tex]
[tex]\angle BPD = \delta , \angle BPO = \angle DPO = \frac{ \delta }{2}[/tex]

От правоъгълния [tex]\triangle OCP \rightarrow \frac{OP}{OC} = \sin \alpha \Rightarrow OP = \frac{a \sqrt{x} }{2}\sin \alpha[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle OBP \rightarrow \frac{OP}{OB} = \cotg \frac{ \delta }{2}[/tex]

[tex]\begin{cases} OP = \displaystyle \frac{a \sqrt{2} }{2}\sin \alpha \\ OP = \displaystyle \frac{a \sqrt{2} }{2} = \cotg \displaystyle \frac{ \delta }{2} \end{cases} \Rightarrow \sin \alpha = \cotg\displaystyle \frac{ \delta }{2} , \cos \alpha = \sqrt{1 - \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }[/tex]

От правоъгълния [tex]\triangle COM \rightarrow \frac{OM}{OC} = \tg \alpha \Leftrightarrow h = \frac{a \sqrt{2} }{2} \tg \alpha[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle CON \rightarrow \frac{ON}{OC} = \tg \beta \Leftrightarrow h = \frac{a}{2}\tg \beta[/tex]

[tex]\begin{cases} h = \displaystyle \frac{a}{2}\tg \beta \\ h = \displaystyle \frac{a \sqrt{2} }{2}\tg \alpha \end{cases} \Rightarrow \tg \beta = \sqrt{2}\tg \alpha \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\sin \beta }{\cos \beta } = \sqrt{2}\displaystyle \frac{\cotg\displaystyle \frac{ \delta }{2} }{ \sqrt{1 - \cotg^{2 } \displaystyle \frac{ \delta }{2} } }[/tex]

От последното равенство [tex]\rightarrow \cos \beta = \sin \beta \displaystyle \frac{ \sqrt{1 - \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} } }{ \sqrt{2}\cotg\displaystyle \frac{ \delta }{2} }[/tex]

[tex]\sin^{2 } \beta + \cos^{2 } \beta = 1 \Leftrightarrow \sin^{2 } \beta + \sin^{2 } \beta ( \displaystyle\frac{1 - \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }{2 \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }) = 1 \Leftrightarrow \sin^{2 } \beta (\displaystyle \frac{2 \cotg^{2 } \displaystyle \frac{ \delta }{2} + 1 - \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }{2 \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }) = 1 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\sin^{2 } \beta(\displaystyle \frac{ \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} + 1 }{2 \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }) = 1 \Leftrightarrow \sin^{2 } \beta ( \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} + 1) = 2 \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} \Leftrightarrow \sin^{2 } \beta \displaystyle \frac{ \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} + \sin^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }{ \sin^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} } = 2\displaystyle \frac{ \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }{ \sin^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} } \Leftrightarrow[/tex]
$$ \sin^{2 } \beta = 2 \cos^{2 } \frac{ \delta }{2} \Rightarrow \sin \beta = \sqrt{2} \cos \frac{ \delta }{2}$$

[ammornil]

[tex]\begin{cases} OP = \displaystyle \frac{a \sqrt{2} }{2}\sin \alpha \\ OP = \displaystyle \frac{a \sqrt{2} }{2} = \cotg \displaystyle \frac{ \delta }{2} \end{cases} \Rightarrow \sin \alpha = \cotg\displaystyle \frac{ \delta }{2} , \cos \alpha = \sqrt{1 - \cotg^{2 }\displaystyle \frac{ \delta }{2} }[/tex]

$\\[12pt]$Мисля, че имате печатна грешка по-горе (един знак равно вместо знак за умножение)...$\\[12pt]$

Screenshot 2025-03-19 112926.png (12.63 KiB) Прегледано 422 пъти

[S.B.]

Благодаря!Очевидно е техническа грешка.Трвбва да бъде умножение,а не равенство.