Двустенен ъгъл

[Гост]

Аз получавам cos(phi)=sqrt(3)/4. От много време я мъча, но нищо не получавам. Отговора е sqrt(3)/3. Не ми дава да прикачвам снимки.

В Куба ABCDA1B1C1D1 , да се намери косинусът на ъгъла между равнините (A,B,C,D) и (M,N,K) , където точките M, N,K са среди съответно на средите BB1, A1B1 и B1C1.

[Гост]

Намерих релевантна диаграма в Интернет. Аз получавам, че двустенният ъгъл м/у двете равнини е
HMD2, където H е петата на височината в равностранния MNK, а D2 е средата на DD1. Образувах равнина, съдържаща точка М, която е успоредна на равнината на основата.

[Darina73]

Нека т.Н е среда на отс. NK .
Правата HM [ която лежи в равнината(M,N,K ) ] ще прониже равнината (A,B,C,D) в т. P ,която лежи на правата BD (т.B лежи на отс.PD)
Нека т.Т е ортогоналната проекция на т.Н в/у равнината ( A,B,C,D) ,AC[tex]\cap[/tex]BD= т.О и т.F е среда на отс. HT .

cos[tex]\varphi[/tex]=cos[tex]\angle[/tex]TPH= ?
([tex]\triangle[/tex]TPH -правоъгълен)

cos[tex]\varphi[/tex] =cos[tex]\angle[/tex]TPH=cos[tex]\angle[/tex]FMH (съответни ъгли и TP||FM)

cos[tex]\angle[/tex]FMH=[tex]\frac{FM}{HM}= \frac{BT}{NK. \frac{ \sqrt{3} }{2} } =\frac{ \frac{BO}{2} }{ \frac{ A_{1 } C_{1 } }{2}. \frac{ \sqrt{3} }{2} }= \frac{ \frac{BD}{4} }{ \frac{ A_{1 } C_{1 } \sqrt{3} }{4} }= \frac{1}{ \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]

[Гост]

[url][/url]
Благодаря Ви. Може ли да погледнете какво съм сгрешил аз в моите разсъждения, че да получавам грешен отг?

[Darina73]

Пратете решението си и с колегите ще потърсим грешката ,или грешките .

[Гост]

Пратете решението си и с колегите ще потърсим грешката ,или грешките .

[Гост]

На последните два реда вместо NM трябва да е MD'. Което е диагонал в квадрата на основата

[Darina73]

Грубата грешка е в последния ред .
За да е изпълнено cos[tex]\varphi= \frac{HM}{MD'}[/tex] ,трябва [tex]\angle[/tex]MHD' =90[tex]^\circ[/tex]
Това нито е дадено ,нито е доказано .
Добре ,ще намерим cos[tex]\varphi[/tex] чрез cos T за [tex]\triangle[/tex]D'MH .
D'H е хипотенуза в правоъгълния [tex]\triangle[/tex]D'H[tex]D_{1 }[/tex] и намираме [tex]D'H^{2 }= \frac{11 a^{2 } }{8}[/tex]

(cos T) [tex]D'H^{2 } =D'M^{2 } +HM^{2 }-2D'M.HM.cos \varphi[/tex]

[tex]\frac{11 a^{2 } }{8}=2 a^{2 }+ \frac{3 a^{2 } }{8}- 2 a \sqrt{2}. \frac{a \sqrt{6} }{4}cos \varphi[/tex]

cos[tex]\varphi = \frac{ \frac{16 a^{2 } +3 a^{2 }-11 a^{2 } }{8} }{ \frac{ a^{2 } \sqrt{12} }{2} }[/tex] =[tex]\frac{ a^{2 } }{ \frac{ a^{2 }.2 \sqrt{3} }{2} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]

[Гост]

Много Ви благодаря.
Искам да питам, за да ми е ясно, какво точно е доказателството, че ъгъла между (KMN) и (A'MC'D') се пада този? Защото и двете отсечки са перпендикулярни на диагонала?

[Darina73]

Нека равнината (A,B,C,D) е [tex]\alpha[/tex] и равнината (M,N,K) е [tex]\beta[/tex] ,която сте оцветили в светло синьо .
За да е по-ясно ,да си представим правоъгълник [tex]N_{1 } K_{1 }[/tex]KN (диагоналите му се пресичат в т.М) ,който лежи в [tex]\beta[/tex] ,
като т.[tex]N_{1 }[/tex] и т.[tex]K_{1 }[/tex] лежат също и в [tex]\alpha[/tex] .

Правата [tex]N_{1 } K_{1 }[/tex] се явява общ контур м/у равнините [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] .
Тогава правата [tex]N_{1 } K_{1 }[/tex] се нарича ръб на двустенния ъгъл .

Определение за мярка на двустенен ъгъл :
Такъв ъгъл ,чиито рамене лежат съответно в двете равнини ([tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] -които се пресичат) и едновременно с това
са перпендикулярни на РЪБА на двустенния ъгъл се нарича линеен ъгъл на двустенен ъгъл .

В нашия чертеж [tex]\angle[/tex]DPH е линеен ъгъл на двустенен ъгъл ,защото DP[tex]\in \alpha[/tex] и HP[tex]\in \beta[/tex] ( [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] се пресичат) и заедно с това
DP[tex]\bot[/tex] ръба [tex]N_{1 } K_{1 }[/tex] и HP[tex]\bot[/tex] ръба [tex]N_{1 } K_{1 }[/tex]

По определение линейният [tex]\angle[/tex]DPH съвпада с двустенния ъгъл м/у [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] .

[Гост]

Много Ви благодаря. Сега всичко ми стана ясно.р