Задача на седмицата: Триъгълник с връх 60 градуса

[Гост]

AF + BE = AB.png (60.88 KiB) Прегледано 503 пъти

[KOPMOPAH]

Поздравления за решението!



Аз подходих така:

От свойствата на ъглополовящата следва, че: $$\frac {BE}{c}=\frac {a-BE}{c}\Rightarrow BE=\frac {ac}{b+c}$$Аналогично получаваме$$AF=\frac {bc}{a+c}$$Тогава $$AF+BE=\frac {bc}{a+c}+\frac {ac}{b+c}=\frac{c(b^2+bc+a^2+ac)}{(a+c)(b+c)}~~~~~~~~~~(1)$$От косинусова теорема имаме $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos 60^\circ=a^2+b^2-ab\Rightarrow a^2+b^2=c^2+ab$$заместваме в числителя на $(1)$ и получаваме$$\frac{c(b^2+bc+a^2+ac)}{(a+c)(b+c)}=\frac{c(c^2+bc+ab+ac)}{(a+c)(b+c)}=\frac{c\cancel{(a+c)}\cancel{(b+c)}}{\cancel{(a+c)}\cancel{(b+c)}}=c$$

[S.B.]

Поздравление и за анонимния колега!