Стереометрия доказателство 11 клас

[Гост]

Нека ABCDM е правилна четириъгълна пирамида.
Точка P е средата на AB, a точка Q - средата на BC.
Да се докаже, че петата на перпендикуляра от т.D към равнината (PQM) лежи върху височината в равнобедрения PQM.

[ptj]

Ако имаш две перпендикулярни една на друга равнини и ги пресечеш с трета, перпендикулярна на всяка една от тях, то естествено получените 3 пресечници са перпендикулярни помежду си и се пресичат в една точка. Вярно е и обратното твърдение.

П.П. Остава да определиш равнините . Пресечниците са ML (височина в PMQ), правата съдържаща точка [tex]D[/tex] и нейната ортогонална проекция [tex]F[/tex]в равнината [tex]PMQ[/tex], a третата е права през [tex]F[/tex] успоредна на [tex]PQ[/tex].

Подсказка: Всеки две пресечници определят една равнина.

[Гост]

Здравей ptj, още не мога да разбера.

Не може ли някакси със симетрията да се докаже?

[ptj]

Може, макар на практика да използваш същото.

Използвай, че BDM e симетрална равнина (ако има такъв термин) за пирамидата.

Помисли защо търсената пета лежи в нея.

Колкото до височината в равнобедрения [tex]PQM[/tex], то тя лежи на секущата права за [tex]PQM[/tex] и [tex]BDM[/tex].

П.П.
За да си представиш предишното ми доказателство вземи една правоъгълна тримерна координатна система. В нея виж трите равнинини [tex]x=0,y=0[/tex] и [tex]z=0[/tex], а също и техните общи секущи.