Състезание "проф. Борислав Боянов" - 1 кръг, 6-а задача

[Гост]

Даден е трапец, вписан в окръжност с радиус 7 см.
Голямата основата на трапеца е 13 см, а ъглополовящата на ъгъл BAD пресича бедрото BC под прав ъгъл.
Да се намерят диагоналите и периметърът на трапеца.

Получавам две възможни стойности за периметъра: 28 см и 37 см, а те посочват само 37 см като правилен, тъй като ъглополовящата пресича BC във вътрешна точка. При така зададено условие, не е ли възможно въпросната ъглополовяща да пресича BC в продължението на BC, т.е. във външна за окръжността точка? И тогава като възможен периметър да се появи и 28 см? Не разбирам защо изключват тази възможност, ще съм благодарен, ако някой ме просветли

[ammornil]

Даден е трапец, вписан в окръжност с радиус 7 см.
Голямата основата на трапеца е 13 см, а ъглополовящата на ъгъл BAD пресича бедрото BC под прав ъгъл.
Да се намерят диагоналите и периметърът на трапеца.

Получавам две възможни стойности за периметъра: 28 см и 37 см, а те посочват само 37 см като правилен, тъй като ъглополовящата пресича BC във вътрешна точка. При така зададено условие, не е ли възможно въпросната ъглополовяща да пресича BC в продължението на BC, т.е. във външна за окръжността точка? И тогава като възможен периметър да се появи и 28 см? Не разбирам защо изключват тази възможност, ще съм благодарен, ако някой ме просветли

$\\[12pt]$Според мен имате право. Не може от даденото да се определи еднозначно дали центърът на описаната около трапеца окръжност лежи вътре или извън трапеца. Затова следва да се разгледат и двата случая. $\\[6pt]$

Screenshot 2025-03-24 151756.png (150.1 KiB) Прегледано 431 пъти

$\\[6pt] k(O,7), (A, B, C, D) \in{}k, \quad AB>CD, AB\|CD, AB=13,\quad L\in{}BC, \angle{DAL}=\angle{BAL}, \angle{ALB}=90^{\circ} \\[6pt] AC=?, P_{ABCD}=? \\[6pt] \because{}\begin{cases} AB\|CD \\ (A,B,C,D)\in{}k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}AD=BC \\ \angle{DAB}=\angle{ABC}=\alpha \end{cases} \Rightarrow \angle{DAL}=\angle{BAL}=\dfrac{\alpha}{2} \\[6pt] \triangle{ALB} \quad \angle{A:B}=90^{\circ} \Rightarrow \alpha + \dfrac{\alpha}{2}= 90^{\circ} \Rightarrow \alpha=60^{\circ} \\[6pt] \quad \Rightarrow \angle{LAB}=30^{\circ} \Rightarrow \begin{cases} BL=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{13}{2} \\ AL=AB\cdot{}\sin{60^{\circ}}=\dfrac{13\sqrt{3}}{2} \end{cases} \\[6pt]\quad \text{Нека } AC=BD=y, CL=x, CD=z \\[12pt] \text{Случай 1:} \quad BL < BC \\[6pt] \triangle{ABC}: \text{ Син. т-ма} \quad \dfrac{y}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\cdot{}7 \Leftrightarrow y=7\sqrt{3} \\[6pt] \triangle{ALC}: \quad y^{2}=AL^{2}+x^{2} \Rightarrow y^{2}=\dfrac{3\cdot{}169}{4}+x^{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{3\cdot{}49 -\dfrac{3\cdot{}169}{4} }= \dfrac{9}{2} \\[6pt] BC= BL +LC= \dfrac{13}{2} +\dfrac{9}{2} =11 \\[6pt] \text{В равнобедрения трапец е изпълнено: } AB= CD +2\cdot{}AD\cdot{}\cos{\angle{DAB}} \Rightarrow CD= 13 -2\cdot{}11\cdot{}\dfrac{1}{2}= 2 \\[6pt] P_{ABCD}=AB +CD +2\cdot{}AD= 13 +2 +2\cdot{}11= 37 \\[24pt] \text{Случай 2:} \quad BL > BC \\[6pt] \triangle{ABC}: \text{ Син. т-ма} \quad \dfrac{y}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2\cdot{}7 \Leftrightarrow y=7\sqrt{3} \\[6pt] \triangle{ALC}: \quad y^{2}=AL^{2}+x^{2} \Rightarrow y^{2}=\dfrac{3\cdot{}169}{4}+x^{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{3\cdot{}49 -\dfrac{3\cdot{}169}{4} }= \dfrac{9}{2} \\[6pt] BC= BL -LC= \dfrac{13}{2} +\dfrac{9}{2} =2 \\[6pt] \text{В равнобедрения трапец е изпълнено: } AB= CD +2\cdot{}AD\cdot{}\cos{\angle{DAB}} \Rightarrow CD= 13 -2\cdot{}2\cdot{}\dfrac{1}{2}= 11 \\[6pt] P_{ABCD}=AB +CD +2\cdot{}AD= 13 +11 +2\cdot{}2= 28$

[math10.com]

В аксиоматиката по геометия в учебника за 7 клас са описани видовете геометрични фигури, една от които е отсечка.Страните на многоъгълниците се приемат за отсечки ( с идеята да имат дължини).Бедрото на трапеца е негова страна и логически е отсечка.Ако ъглополовяща пресича бедрото следва да се приеме във вътрешна точка за отсечката, освен ако не е описана и друга възможност.
Като пример давам определението за височина в тиъгълник:"Височина на триъгълник е отсечка свързваща връх на триъгълника със срещуположната му страна или продължението и и образуваща с нея прав ъгъл."
В новите издания на учебниците е описано подобно определение, за да премахнем двусмислието в някои задачи.Така страните на многоъгълниците не са прави ( както бяха приемани преди години), а отсечки и съответното пресичане е във вътрешна за отсечката точка освен ако не е уточнено допълнително, че е възможно и друго.
Подобни правила трябва да се въвеждат специално за хората, които защитават противната теза, искат да има двусмислие с идеята да се разглеждат два случая и оправдават лошото задаване на условието с това, че допълвайки го ще направят задачата лесна.
Учениците тябва да се замислят по въпроса как да се реши задачата, а не какво е искал да каже автора.Все пак математиката е точна наука

[ammornil]

Бих се съгласил с Вас, но задачата не е за седми клас. Аз от доста време не работя с ученици, може би са въвели конвенции, които не са ми известни. Преди петнадесет години искахме от учениците да изследват всички възможни случаи, които не водят до противоречия. Ако се искаше конкретен случай, се даваше в условието къде лежат пресечните точки спрямо краищата на отсечка. А в някои случаи умишлено се пропускаше за да се види, че един от случаите води до противоречие.

Менят се временна, и ние се променяме в тях.

[math10.com]

На никой няма да му намалят точки ако е решил задачата като е разгледал и двата случая и е обосновал решението си.Но мисля, че не е редно да намаляват точки на участник разгледал само пресичането във вътрешна точка, основавайки се на принципа, че бедрото е отсечка.Ако искаме все пак да проверим аналитичното мислене на учениците лесно се задава в условието "ъглополовящата на ъгъл А пресича правата ВС в точка L".Така нито има двусмислие, нито подсказваме за наличието на втори случай.
Идеята на задачите не е да има кукичка за рибки и да намаляваме точки на хваналите се, а по-скоро да оценим възможностите и знанията на учениците по вложения в задачата материал.
Пиша това по повод поста с желанието за обяснение на ситуацията, защо авторите са предложили решението само със случая на вътрешна точка и да успокоя страстите, преди всички да нападнат хората от съюза на математиците с хейт за непълно или объркано решение.