Окръжности и отношения

[ins-]

Окръжностите [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] с радиуси [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] [tex](R \gt r)[/tex] се допират вътрешно. Права [tex]l[/tex] пресича окръжностите в точките [tex]A, B, C, D[/tex] (точките са в този ред на правата). Да се намери дължината на отсечката [tex]AB[/tex], ако [tex]AB:BC:CD=1:2:3[/tex] и центровете на окръжностите са от една и съща страна на [tex]l[/tex].

[tryagainD]

За кой клас е задачата?

[Гост]

За кой клас е задачата?

То си е написано - "Състезания 9 -12 клас"

[ins-]

Не знам какво точно се учи в сегашната учебна програма. Когато аз бях ученик беше това материал за 8 и 9-ти клас. Но със сигурност е материал, изучаван до края на 10-ти клас сегашен. Забравих да спомена. Задачата не е измислена от мен.

[S.B.]

Окръжностите [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] с радиуси [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] [tex](R \gt r)[/tex] се допират вътрешно. Права [tex]l[/tex] пресича окръжностите в точките [tex]A, B, C, D[/tex] (точките са в този ред на правата). Да се намери дължината на отсечката [tex]AB[/tex], ако [tex]AB:BC:CD=1:2:3[/tex] и центровете на окръжностите са от една и съща страна на [tex]l[/tex].

Без заглавие - 2025-03-28T120708.797.png (571.81 KiB) Прегледано 710 пъти

Това е моят работен чертеж и го публикувам за да помогна на всеки,който желае да решава задачата

[tryagainD]

Окръжностите [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] с радиуси [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] [tex](R \gt r)[/tex] се допират вътрешно. Права [tex]l[/tex] пресича окръжностите в точките [tex]A, B, C, D[/tex] (точките са в този ред на правата). Да се намери дължината на отсечката [tex]AB[/tex], ако [tex]AB:BC:CD=1:2:3[/tex] и центровете на окръжностите са от една и съща страна на [tex]l[/tex].

След използването на Питагорова теорема няколко пъти стигам до уравнението:

[tex]\sqrt{r^{2 } - x^{2 }}[/tex]= [tex]\sqrt{ R^{2 } - 9x^{2 } }[/tex] + [tex]\sqrt{ (R - r)^{2 } - x^{2 } }[/tex]

Като го вдигна на втора и положа [tex]x^{2 }[/tex] = t получавам квадратното уравнение:

72[tex]t^{2 }[/tex] + (18Rr + 9[tex]r^{2 }[/tex] - 17[tex]R^{2 }[/tex]).t + [tex]R^{2 }[/tex]r(5r - 2R) = 0, което би трябвало да има решение, ама нещо ми подсказва, че може би не това е начина да се реши задачата.

[ins-]

Начинът, по който я решавах беше с Питагорова теорема и хорди в окръжност. Ако не съм объркал нещо се получава, че има няколко случая. Има отхвърляне на случаи също. Не е нещо особено задачата, но не е и много лесна. Гледам да раздвижа сайта и да се позабавляват потребителите, а и да споделя някоя находка.

[KOPMOPAH]

Окръжности и отношения.png (22.59 KiB) Прегледано 679 пъти

Поздравления на S. B. за чудесния чертеж, който ми подсказа решението. Все пак, поддадох се на изкушението да начертая собствен, защото хубавият чертеж е (почти) решена задача, а решение без чертеж е умуване с елементи на разсъждение

И така, от зеления триъгълник $O_1C=\sqrt{R^2-9x^2}$.

От жълтия триъгълник $O_2G=\sqrt{r^2-x^2}$.

От червения триъгълник $(R-r)^2=\left(\sqrt{R^2-9x^2}-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2+x^2$.

$$\cancel{R^2}-2Rr+\cancel{r^2}=\cancel{R^2}-9x^2-2\sqrt{R^2-9x^2}\sqrt{r^2-x^2}+\cancel{r^2}-\cancel{x^2}+\cancel{x^2}$$
$$2\sqrt{R^2-9x^2}\sqrt{r^2-x^2}=2Rr-9x^2$$
$$\left(2\sqrt{R^2-9x^2}\sqrt{r^2-x^2}\right)^2=\left(2Rr-9x^2\right)^2$$
$$4\left(R^2r^2-9r^2x^2-R^2x^2+9x^4\right)=4R^2r^2-36Rrx^2+81x^4$$
$$\cancel{4R^2r^2}-36r^2x^2-4R^2x^2+36x^4=\cancel{4R^2r^2}-36Rrx^2+81x^4$$
Охотно се освобождаваме от $x^2$ и след преобразования стигаме до:$$45x^2=36Rr-4R^2-36r^2\Rightarrow x=\sqrt{\frac{36Rr-4R^2-36r^2}{45}}$$

За да е коректен отговорът, трябва да видим какво отношение на радиусите дава неотрицателна стойност на числителя.$$\frac Rr=t \rightarrow~~-4t+36t-36\ge 0\cdots t\in \left[\frac {9-\sqrt{45}}{2}, \frac {9+\sqrt{45}}{2}\right]$$

Скрит текст: покажи

Не изключвам вероятността от техническа грешка

[ins-]

Мисля, че отговорът на KOPMOPAH е коректен. Случаите, които споменах и биха могли да се отхвърлят са [tex]O_1[/tex] лежи на окръжността с център [tex]O_2[/tex] или извън нея, но е прекалено задълбаване. Важна е идеята за построенията.

[Darina73]

Като реших ирационалното ур-е на tryagainD (без полагане) ,получих x=[tex]\sqrt{ \frac{36rR-4 R^{2 } -36 r^{2 } }{45} }[/tex] .