Нерешено н-во от старият форум

[dim]

Докажете:
[tex]\sum_{i=1}^{n }(\frac{\sum_{j=1}^{i }x_j }{i})^2 \le (1+\sqrt{2})^2\sum_{i=1}^{}x_i^2[/tex]

[tex]1 \le j \le i \le n[/tex]

Кога се достига равенство?

[nevrodermit]

Нека [tex]\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{R}^+[/tex].
От неравенството на Коши-Шварц:
[tex](\frac{x_1^2}{\alpha_1}+\frac{x_2^2}{\alpha_2}+\cdots + \frac{x_k^2}{\alpha_k})(\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_k)\ge (x_1+x_2+\cdots+x_k)^2[/tex]. Равенство има при [tex]\frac{x_i}{\alpha_i}=k \forall i\in I_k[/tex].
Ето защо:
[tex](\frac{x_1+x_2+\cdots + x_k}{k})^2\le \frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_k}{k^2\alpha_1}x_1^2+\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_k}{k^2\alpha_2}x_2^2+\cdots + \frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_k}{k^2\alpha_k}x_k^2[/tex].
Сумираме всички такива неравенства за [tex]k\in I_n[/tex]:
[tex]x_1^2+(\frac{x_1+x_2}{2})^2+\cdots + (\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})^2\le \gamma_1x_1^2+\gamma_2x_2^2+\cdots +\gamma_nx_n^2[/tex], където
[tex]\gamma_k=\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k}{k^2\alpha_k}+\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_{k+1}}{(k+1)^2a_k}+\cdots +\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n}{n^2\alpha_k}[/tex].
Задачата ще бъде решена, ако има редица [tex]\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n[/tex] такава, че [tex]\gamma_k\le (\sqrt{2}+1)^2[/tex].
Избираме [tex]\alpha_k=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\Rightarrow \alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_k=\sqrt{k}[/tex].
Тогава
[tex]\gamma_k=\frac{1}{\alpha_k}(\frac{1}{k^{3/2}}+\frac{1}{(k+1)^{3/2}}+\cdots +\frac{1}{n^{3/2}})[/tex].
Забелязваме, че
[tex]\sqrt{(k-\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})}(\sqrt{k-\frac{1}{2}}+\sqrt{k+\frac{1}{2}})\le 2k^{3/2}[/tex] и значи
[tex]\frac{1}{k^{3/2}}\le \frac{\sqrt{k+1/2}-\sqrt{k-1/2}}{(k-1/2)(k+1/2)}=\frac{1}{\sqrt{k-1/2}}-\frac{1}{\sqrt{k+1/2}}[/tex] и значи
[tex]\gamma_k=\frac{1}{\alpha_k}\sum_{j=k}^n{\frac{1}{j^{3/2}}}\le \frac{1}{\alpha_k}(\sum_{k=k}^n\frac{1}{\sqrt{j-1/2}}-\sum_{j=k}^n\frac{1}{\sqrt{j+1/2}})\le \frac{2}{\alpha_k\sqrt{k-1/2}}=\frac{2(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}{\sqrt{k-1/2}}[/tex].
За [tex]k\ge 1[/tex] може да се докаже, че изразът не е по-голям от [tex](1+\sqrt{2})^2[/tex].