Задача 11 клас профил

[Гост]

Здравейте, имам нужда от малко разяснение на следната задача.

Основата ABCD на пирамидата ABCDM е успоредник, за който AB=6 и [tex]\angle[/tex]ADC>90⁰. Ръбът DM е перпендикулярен на основата, а ъгълът между равнините (A,B,M) и (A,B,C) е 45⁰. Намерете обема на пирамидата.

Оказва се, че въпросният успоредник е правоъгълник, а в следствие от това (по 3-те перпендикуляра) и триъгълник ABM е правоъгълник. Пращам снимка на моя чертеж.
Не ми е ясна обосновката защо ABCD е правоъгълник? Стигнах до правилния отговор (16) но като го налучках.

[ammornil]

Здравейте, имам нужда от малко разяснение на следната задача.

Основата ABCD на пирамидата ABCDM е успоредник, за който AB=6 и [tex]\angle[/tex]ADC>90⁰. Ръбът DM е перпендикулярен на основата, а ъгълът между равнините (A,B,M) и (A,B,C) е 45⁰. Намерете обема на пирамидата.

Оказва се, че въпросният успоредник е правоъгълник, а в следствие от това (по 3-те перпендикуляра) и триъгълник ABM е правоъгълник. Пращам снимка на моя чертеж.
Не ми е ясна обосновката защо ABCD е правоъгълник? Стигнах до правилния отговор (16) но като го налучках.

$\\[24pt]\quad$По условие $\measuredangle{ADC}>90^{\circ}$, което го прави тъп ъгъл, което значи че основата $ABCD$ не е правоъгълник. Също така, понеже $MD\bot{p(ABCD)}$, единствения начин $\triangle{ABM}$ да е правоъгълен е ако $\measuredangle{AMB}=90^{\circ}$, за което няма данни. Според мен, грешно сте разчели условието.$\\[6pt]\quad$Освен това, даденото не е достатъчно да се определи обема на пирамидата, защото основата не е достатъчно определена. Има безброй много успоредници, на които едната страна е $6$ и имат тъп ъгъл при върха $D$. Липсва информация за да се намери еднозначно решение. Ако параметризираме $\measuredangle{DAC}=\alpha$ и $AD=b$ то $\\[6pt]$

Screenshot 2025-04-23 085308.png (41.73 KiB) Прегледано 344 пъти

$\\[12pt]\quad$Постройте $MK\bot{AB}$.$\\[6pt] \begin{cases}MD\bot{p(ABC)} \Rightarrow MD\bot{AB} \\ MK\bot{AB} \end{cases} \Rightarrow \text{Т-ма}3\bot{:}\hspace{0.4em} DK\bot{AB}\\[6pt] \begin{cases} DK\bot{AB} \\ MK\bot{AB} \end{cases} \Rightarrow \measuredangle{MKD}= \measuredangle{ \begin{pmatrix} p(ABM),p(ABC) \end{pmatrix} } =45^{\circ} \\ [6pt] \triangle{KDM}, \quad \begin{cases} \measuredangle{MDK}= 90^{\circ} \\ \measuredangle{MKD}= 45^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \measuredangle{KMD}= 45^{\circ} \Rightarrow MD=MK \\[6pt] \quad$Оттук надолу задачата е решена с използване на условните параметри от по-горе. Обърнете внимание, че успоредник може да се дефинира и чрез други негови параметри, като дължините на диагоналите или лицето му, например.$\\[6pt] S_{ABCD}=6b\sin{\alpha} \\[6pt] DK=b\sin{\alpha} \Rightarrow MD= b\sin{\alpha} \\[6pt] V_{ABCDM}=\dfrac{1}{3}\cdot{S_{ABCD}}\cdot{MD} =2b^{2}\sin^{2}{\alpha}$

[Гост]

Здравейте, много Ви благодаря, допълвам условието, лицето на триъгълник ABM =12.

[ammornil]

Здравейте, много Ви благодаря, допълвам условието, лицето на триъгълник ABM =12.

$\\[12pt] S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\cdot{AB}\cdot{MK} \Rightarrow MK=\dfrac{2\cdot{S_{ABM}}}{AB}= 4\\[6pt] \triangle{MDK}: \quad MK^{2}= MD^{2} +DK^{2} \Rightarrow MD=DK=\sqrt{\dfrac{MK^{2}}{2}}= 2\sqrt{2} \\[6pt] S_{ABCD}= AB\cdot{DK}= 12\sqrt{2} \\[6pt] V_{ABCDM}=\dfrac{1}{3}\cdot{S_{ABCD}}\cdot{MD}= \dfrac{1}{3}\cdot{12\sqrt{2}}\cdot{2\sqrt{2}}= 16$