Задача стереометрия

[Гост]

Не съм сигурен дали сечението минава през върха С.

[Гост]

Това е моят чертеж. Отделям една по-малка правилна триъгълна призма, от която едната част е пирамида. Намираме, че пирамидата всъщност е 1/3 от целия обем на малката призма, и след пресмятане получавам 10/9. Отговора е 5/7.

[Гост]

Това е моят чертеж. Отделям една по-малка правилна триъгълна призма, от която едната част е пирамида. Намираме, че пирамидата всъщност е 1/3 от целия обем на малката призма, и след пресмятане получавам 10/9. Отговора е 5/7.

[Гост]

Поправка, получавам 15/13. Обема считан от ABC / Обема считан от A1B1C1 = Обема на ABCC2B2A3+ Обема на A3B2C2A2 (който е 1/3 от този на призмата A3B2C2C3B3A2) върху Обема на A1C1A2B3C3 + Обема на A2B3C3C2B2(който е 2/3 от този на A3B2C2C3B1A2)

[KOPMOPAH]

Задача стереометрия.png (14.63 KiB) Прегледано 341 пъти

Ако приемем обемите на жълтите призми за $1$, то синьо-зелената призма ще има обем $2$, като синята ѝ част ще е $\frac 23$,
а зелената ѝ част - съответно $2-\frac 23=\frac 43$.
Като цяло долната жълта призма и синята пирамида имат общ обем $1+\frac 23=\frac 53$, а горната жълта призма и зелената част правят $1+\frac43=\frac 73$.

Оттук следва и отговорът $\frac 57$.

[S.B.]

Това е моят чертеж. Отделям една по-малка правилна триъгълна призма, от която едната част е пирамида. Намираме, че пирамидата всъщност е 1/3 от целия обем на малката призма, и след пресмятане получавам 10/9. Отговора е 5/7.

Без заглавие - 2025-04-28T153640.414.png (244.06 KiB) Прегледано 315 пъти

Още един поглед върху задачата:

Нека основният ръб е $a$, а околният е $b$
[tex]V_{ABC A_{1 } B_{1 } C_{1 } } = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4} b[/tex]

Равнината [tex](A_{2 } B_{2 } C_{2 })[/tex] разделя обема на призмата на обемите на две тела - [tex]T_{1 }[/tex] и [tex]T_{2 }[/tex]

[tex]T_{1 } = ABC A_{2 } B_{2 } C_{2 }[/tex]

[tex]T_{2 } = A_{2 } B_{2 } C_{2 } A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex]

Търсим [tex]\frac{ V_{ T_{1 } } }{ V_{ T_{2 } } }[/tex]

Построявам [tex]B_{2 }M || AB , M \in A A_{1 }[/tex]

[tex]V_{ T_{1 } } = V_{ABCM B_{2 } C_{2 } } + V_{ A_{2 }M B_{2 } C_{2 } }[/tex]

[tex]V_{ABCM B_{2 } C_{2 } } = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4}. \frac{b}{4} = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{16}.b[/tex]

[tex]V_{ A_{2 }M B_{2 } C_{2 } } = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4}. \frac{b}{2}. \frac{1}{3} = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{24} .b[/tex]

[tex]V_{ T_{1 } } = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{16}.b + \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{24}.b[/tex]
$$\Rightarrow V_{ T_{1 } } = \frac{ 5a^{2 } \sqrt{3} }{48}.b $$
[tex]V_{ T_{2 } } = V_{ABC A_{1 } B_{1 } C_{1 } } - V_{ T_{1 } } \Leftrightarrow V_{ T_{2 } } = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4}.b - \frac{5 a^{2 } \sqrt{3} }{48}.b[/tex]
$$\Rightarrow V_{ T_{2 } } = \frac{7 a^{2 } \sqrt{3} }{48} $$

[tex]\displaystyle \frac{ V_{ T_{1 } } }{ V_{ T_{2 } } } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{5 a^{2 } \sqrt{3} }{48}.b }{\displaystyle \frac{7 a^{2 } \sqrt{3} }{48}.b } = \displaystyle \frac{5}{7}[/tex]
$$\Rightarrow \frac{ V_{ T_{1 } } }{ V_{ T_{2 } } } = \frac{5}{7}$$

[Гост]

Много благодаря на всички включили се!