Задача стереометрия

[Гост]

Сечението мисля че е петоъгълник, но как сече точно другите стени?

[KOPMOPAH]

Пирамидата има само ЧЕТИРИ стени, няма как равнина да пресече ПЕТ стени, за да е сечението петоъгълник.
Всъщност сечението е трапец.

[Гост]

Как да го начертая?

[ammornil]

Това помага ли Ви?$\\[12pt]$

Screenshot 2025-05-12 095632.png (67.16 KiB) Прегледано 794 пъти

[Гост]

Да, благодаря Ви. Обаче не знам как да намеря основите и височината на този равнобедрен трапец. Долната основа е a/2, за горната не знам, а височината ще се намери с подобни триъгълници

[ammornil]

Да, благодаря Ви. Обаче не знам как да намеря основите и височината на този равнобедрен трапец. Долната основа е a/2, за горната не знам, а височината ще се намери с подобни триъгълници

$\\[12pt]$Стигам до някъде и ми се губи идеята, може би като помисля по-малко ще я видя. До тук решението ми е следното (може би Вие ще видите продължението преди мен)...

Основата на трапеца е средна отсечка в $\triangle{ABC} \Rightarrow KQ=\dfrac{1}{2}a, \quad MH=OH =\dfrac{MH}{2} \\[12pt] \triangle{CHM}: \begin{cases}CM =a \\ CO=\dfrac{2}{3}CK= \dfrac{2}{3}\cdot{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}= \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \end{cases} \Rightarrow \\[6pt] \Rightarrow MO=\sqrt{CM^{2} -CO^{2}}= \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \Rightarrow MH=OH= \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \\[12pt] QN= NK= \dfrac{a}{4} \\[12pt] OQ=OK=\dfrac{1}{3}CK = \dfrac{1}{3}\cdot{}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}= \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \\[6pt] S_{KOQ}= \sqrt{\dfrac{KQ +OK +OQ}{2} \cdot{\dfrac{KQ +OK -OQ}{2}} \cdot{\dfrac{KQ -OK +OQ}{2}} \cdot{\dfrac{-KQ +OK +OQ}{2}}}= \sqrt{\dfrac{2OK+KQ}{2} \cdot{\dfrac{KQ}{2}} \cdot{\dfrac{KQ}{2}} \cdot{\dfrac{2OK-KQ}{2}}} \\[6pt] \quad S_{KOQ}= \dfrac{KQ}{4}\sqrt{(2OK)^{2}-KQ^{2}} =\dfrac{a}{8}\sqrt{4\cdot{\dfrac{3a^{2}}{36}} - \dfrac{a^{2}}{4}}= \dfrac{a}{8}\sqrt{\dfrac{a^{2}}{3}} =\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{24} \\[12pt] ON=\dfrac{2\cdot{S_{KOQ}}}{KQ} =\dfrac{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{24}}{\dfrac{a}{2}} =\dfrac{a\sqrt{3}}{12}\\[12pt] NH= \sqrt{OH^{2} +ON^{2}} =\sqrt{\dfrac{a^{2}}{6} +\dfrac{a^{2}}{48}}= \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \\[12pt] KH= \sqrt{NK^{2} +NH^{2}}= \sqrt{\dfrac{a^{2}}{16} + \dfrac{3a^{2}}{16}}= \dfrac{a}{2} \\[12pt] QK=KH=QH= \dfrac{a}{2} \Rightarrow \triangle{QKH} \text{ е равностранен} \Rightarrow \triangle{EHD} \text{ е равностранен} \\[12pt] $ И оттук не ми идва идея как да изчисля останалите елементи на трапеца $QKDE.\\[6pt]$Може би ако означим $\\[6pt]DE=b \Rightarrow \begin{array}{l} FH=\dfrac{b\sqrt{3}}{2} \\[6pt] NF= NH +FH= \dfrac{\sqrt{3}}{4}(a+2b) \\[6pt] \triangle{QEH}:\quad QE^{2} = QH^{2} +EH^{2} +QH\cdot{EH} \quad (\angle{QHE}=120^{\circ}) \\[6pt] \triangle{QD_{1}E}:\quad QD_{1}= \dfrac{\dfrac{a}{2}-b}{2}, \\[12pt] \quad \quad QE^{2} = QD_{1}^{2} +ED_{1}^{2}\end{array}\\[12pt] $ Във всички тези уравнения има две неизвестни, и можем да намерим $QE$ и $b$. Това ми е идеята, но може би има по-лесен начин с вектори или с метрично равенство което не виждам в момента. Проверете и сметките за грешки. $\\[24pt]$

Screenshot 2025-05-12 131056.png (107.92 KiB) Прегледано 772 пъти

[ammornil]

Ето още една по-проста идея за довършване на решението по горния чертеж.$\\[12pt]NP=OP +ON= \dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}+ \dfrac{a\sqrt{3}}{12}= \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \\[12pt] \cos{\angle{ONH}}=\dfrac{ON}{NH}= \dfrac{1}{3} \\[12pt] \triangle{CBM}, CB=BM=CM=a \Rightarrow MP=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\[12pt] \triangle{APM}: \quad AP=MP=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, AM=a \Rightarrow \cos{\angle{APM}}= \dfrac{AP^{2} +MP^{2} -AM^{2}}{2\cdot{AP}\cdot{MP}}= \dfrac{2\cdot{\dfrac{3a^{2}}{4}}-a^{2}}{2\cdot{\dfrac{3a^{2}}{4}}}=1-\dfrac{2}{3}= \dfrac{1}{3} \\[6pt] \triangle{PNF}: \cos{\angle{PNF}}=\cos{\angle{NPF}} \Rightarrow PF=NF=x \\[6pt] \quad NF^{2}= NP^{2} +PF^{2} -2\cdot{NP}\cdot{PF}\cdot{\cos{\angle{NPF}} } \Leftrightarrow x^{2}= \dfrac{3a^{2}}{16} +x^{2} -2\cdot{\dfrac{a\sqrt{3}}{4}}\cdot{x}\cdot{\dfrac{1}{3}} \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}a}{6}x= \dfrac{3a^{2}}{16} \Leftrightarrow x= \dfrac{3a^{2}}{16} \cdot{\dfrac{6}{\sqrt{3}a}} \\[12pt] x=\dfrac{3\sqrt{3}a}{8} \\[12pt]DE=b, \quad NF= \dfrac{3\sqrt{3}a}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(a+2b) \Rightarrow \dfrac{3a}{2}= a+2b \Leftrightarrow 2b= \dfrac{a}{2} \Leftrightarrow b= \dfrac{a}{4} \\[12pt] S_{QKDE}= \dfrac{QK +DE}{2}\cdot{NF}= \dfrac{\dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{4}}{2}\cdot{\dfrac{3\sqrt{3}a}{8}}= \dfrac{3a}{8}\cdot{\dfrac{3\sqrt{3}a}{8}}= \dfrac{9\sqrt{3}a^{2}}{64}\\[12pt]$Прегледайте сметките.

[Гост]

Страшно много Ви благодаря. Сметките Ви са правилни, отговора също разбира се е правилен.

[Гост]

Може ли да Ви попитам, с каква програма си правите 3д чертежите?

[Гост]

Като цяло, единственото нещо което още ми бяга е чисто стереометричното доказателство, че сечението е равнобедрен трапец. Моля, ако някои реши, да сподели какво би било то. В момента учим сечения (11 клас) и доста наблягаме на обосновката.

[ammornil]

Може ли да Ви попитам, с каква програма си правите 3д чертежите?

GEOGEBRA

[ammornil]

Промених съдържанието на този пост, защото имаше фактическа грешка, а не ми дава да го изтрия....