Задача стереометрия

[Гост]

Даден е правилен тетраедър със страна 1. Точка M е център на стената ACD, а точка N е среда на BC. Да се намери синусът на ъгълът между правата BM и равнината AND.

[KOPMOPAH]

Задача стереометрия-2.png (24.99 KiB) Прегледано 372 пъти

Скицирам:

Зелената, жълтата и червената симетрални равнини се пресичат във височината $DH$. Отсечката $BM$, която е и височина към $(ACD)$, пресича $DH$ в т.$O$ - център на тетраедъра. Отсечката $BO$ се явява радиус на описаната сфера, който за тетраедър с ръб $1$ е $\frac{\sqrt 6}4$.

Търсеният синус е равен на $\displaystyle\frac{BN}{BO}=\frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt 6}4}=\frac{\displaystyle\sqrt 6}{\displaystyle 3}$

[Гост]

Защо търсеният ъгъл е [tex]\angle[/tex]BON?

[KOPMOPAH]

Защо търсеният ъгъл е [tex]\angle[/tex]BON?

Защото $BN$ е перпендикулярна на зелената равнина.

[ptj]

От това, което е написал КОРМОРАН, следва че ортогоналната проекция на [tex]BM[/tex] в равнината [tex]AND[/tex] лежи върху правата [tex]ОN[/tex].
Тогава търсения ъгъл е точно [tex]\angle BON[/tex] и [tex]sin(\angle BON)= \frac{BN}{BO}[/tex].

Поздравления за доброто и късо решение!

[ptj]

КОРМОРАН, в мотото ти за земята и слънцето има логическа грешка.
Кой около кого обикаля зависи от местоположението на наблюдателя.
Така, че практически всеки от вариантите може да е правилен както и обратното.