12 Клас

[Гост]

Основата на пирамидата ABCDE е робът ABCD. Ортогоналната проекция на точката Е в равнината на Основата е средата на отсечката АВ. Околните ръбове EC и ED сключват с равнината на Основата съответно ъгли x и y. Да се намери острия ъгъл на ромба, ако cosx=1/[tex]\sqrt{3}[/tex], а cosy=1/[tex]\sqrt{5}[/tex]

[S.B.]

Основата на пирамидата ABCDE е робът ABCD. Ортогоналната проекция на точката Е в равнината на Основата е средата на отсечката АВ. Околните ръбове EC и ED сключват с равнината на Основата съответно ъгли x и y. Да се намери острия ъгъл на ромба, ако cosx=1/[tex]\sqrt{3}[/tex], а cosy=1/[tex]\sqrt{5}[/tex]

Без заглавие - 2025-05-19T165510.659.png (279.7 KiB) Прегледано 337 пъти

[tex]EF \bot AB, F \in AB, AF = FB, EF = h[/tex]
Нека страната на ромба $ABCD$ е $a$, [tex]\angle BAD = \alpha , \angle FDE = y , \angle FCE = x[/tex]

За [tex]\triangle EFD[/tex]
[tex]\cos y = \frac{1}{ \sqrt{5} } , \sin y = \frac{2}{ \sqrt{5} } \Rightarrow \tg y = \frac{\sin y}{\cos y} = 2[/tex]

[tex]\tg y = \frac{EF}{FD} \Leftrightarrow \frac{h}{FD} = 2 \Rightarrow FD = \frac{h}{2}[/tex]

За [tex]\triangle EFC[/tex]
[tex]\cos x = \frac{1}{ \sqrt{3} } , \sin x = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } \Rightarrow \tg x = \sqrt{2}[/tex]

[tex]\tg x = \frac{EF}{FC} \Leftrightarrow \frac{h}{FC} = \sqrt{2} \Rightarrow FC = \frac{h}{ \sqrt{2} }[/tex]

За [tex]\triangle FAD[/tex] и [tex]\triangle FBC[/tex] прилагам Косинусова теорема: (не забравям,че [tex]\cos (180 ^\circ - \alpha) = -\cos \alpha[/tex])

[tex]FD^{2 } = a^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4} - 2.a. \frac{a}{2}.\cos \alpha[/tex]
[tex]FC^{2 } = a^{2 }+ \frac{ a^{2 } }{4} + 2.a. \frac{a}{2} .\cos \alpha \alpha[/tex]

Събирам почленно , замествам $FD$ и $FC$ с получените по-горе изрази и получавам:
[tex]FD^{2 } + FC^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{2} \Leftrightarrow \frac{ h^{2 } }{4} + \frac{ h^{2 } }{2} = \frac{5 a^{2 } }{2} \Leftrightarrow 3 h^{2 } = 10 a^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow h = \frac{a \sqrt{10} }{ \sqrt{3} } $$

[tex]FD^{2 } = a^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4} - a^{2 } \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{ h^{2 } }{4} = \frac{5 a^{2 } }{4} - a^{2 } \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{10 a^{2 } }{12} - \frac{5 a^{2 } }{4} = - a^{2 }\cos \alpha \Leftrightarrow \frac{10 - 15}{12} = - \cos \alpha[/tex]
$$\Rightarrow \cos \alpha = \frac{5}{12} $$