11 Клас - Ос на кръстосани прави

[Гост]

Основата на четириъгълна пирамида ABCDM е квадрат ABCD, със страна AB=a. Ръбът BM е перпендикулярен на основата и BM=c. Да се намери разстоянието между правите BD и CM.

В учебника ми са построили права m успоредна на AC, след това са проектирали MC в равнината определена от m и MB, след това казват, че разстоянието между CM и BD е равно на разстоянието от B до MC1.
Въпросът ми е, защо това е така? Как мога да се сещам за подобно нещо във всяка задача?

[ptj]

Не трябва просто да вдигате ръце. По-добре си задайте въпроса:
"Ако написаното решение в учебника е правилно, то какво следва от това?"
----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Съществува елементарен и едновременно универсален метод за намиране на ос-отсечка между две кръстосани прави:

Нека двете прави са [tex]a,b[/tex], a тяхната ос-отсечка е [tex]МN[/tex], като [tex]М \in a[/tex] и [tex]N \in b[/tex].

Да построим права [tex]c[/tex] през произволна точка [tex]K \in b[/tex], така че [tex]c\parallel a[/tex].

Нека [tex]\alpha[/tex] е равнината определена от правите [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex], т.е. [tex]b \in \alpha[/tex] и [tex]c \in \alpha[/tex].

Същественото в построението до тук е, че ос-отсечката [tex]MN[/tex] всъщност е точно растоянието от т.[tex]M[/tex] до равнината [tex]\alpha[/tex].

За да изясним последния ред може да построим ортогоналната проекция [tex]d[/tex] на правата [tex]a[/tex] в равнината [tex]\alpha[/tex].

Тогава със сигурност може да твърдим, че [tex]d \cap b=\{т.N\}[/tex] и ако издигнем перпендикуляр от т. [tex]N[/tex] спрямо равнината [tex]\alpha[/tex], то той със сигурност ще пресече правата [tex]a[/tex] и то точно в точка М.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Сега вече, след като знаете какво представлява ос-отсечката на две кръстосани прави и как може да се построи тя, всичко което се иска от вас е да проверите дали даденото построение в задачата съответсва на крайния резултата в горния алгоритъм.

П.П. Можех да напиша и друго (директно) решение, но не съм убеден, че то не би ви накарало да мислите правилно, т.е. да можете самостоятелно да анализирате и решавате всяка подобна задача.

П.ПП. Сигурен съм, че веднага ще се намерят критици във връзка с обясненията без чертеж. За мен правенето на самостоятелен чертеж от страна на четящия е асоциирано с 50% разбиране на всичко написано...

[ptj]

Всъщност има друг доста по-лесен директен (алгебричен) метод за тази задача:

Нека дължината на ос-отсечката е [tex]x[/tex].

[tex]V_{ABCDM}= \frac{1}{3}a^2.c[/tex]

[tex]V_{ABCDM}=2V_{ABCM}=2. \frac{1}{6}BD.x.CM= \frac{1}{3} (\sqrt{2}.a).x. \sqrt {a^2+c^2}[/tex]

[tex]x= \frac{ac}{ \sqrt{2(a^2+c^2) }}[/tex]

П.ПП. Ако искаш да анализираме правилно указанията от учебника ти, напиши внимателно (без грешки) самото построение, т.е. да се разбира точно всеки един негов елемент...

[Гост]

Ptj, много ти благодаря! Наистина така е по-полезно за мен.