Стереометрия за 11 клас

[Гост]

Имам нужда от помощ за б).

[ptj]

Нека пирамидата е [tex]ABCDF[/tex]

Сечението е трапец [tex]ABMN[/tex] е трапец заради [tex]AB\parallel CD \Rightarrow AB\parallel (FCD)[/tex].

(Ако имаме две равнини и едната от тях съдържа права успоредна на втората равнина, то тяхната пресечница е успоредна на тази права.)

Нека [tex]\alpha[/tex] е равнина съдържаща височината (от [tex]F[/tex] към основата [tex]ABCD[/tex]) и перпендукулярна на основните ръбове [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex].

Нека точките [tex]P,Q,S \in \alpha[/tex], като [tex]P \in AB[/tex], [tex]Q \in CD[/tex], [tex]S \in MN[/tex].

[tex]\angle SPQ= \gamma , \angle SQP= \beta[/tex].

Нека точка [tex]T[/tex] е ортогоналната проекция на [tex]S[/tex] в основата на пирамидата [tex](Т \in \alpha )[/tex].

[tex]a.sin( \alpha )=PQ=PT+TQ=ST\big(ctg( \gamma )+ctg( \beta)\big)=ST \frac{sin( \gamma + \beta )}{sin( \gamma ).sin( \beta )}[/tex]

[tex]ST=a. \frac{sin( \alpha )sin( \beta ).sin( \gamma )}{sin( \beta+ \gamma )}[/tex]

Нека [tex]M_1[/tex] е ортогоналната проекция на [tex]M[/tex] в основата.

Нека разгледаме [tex]\triangle ACF[/tex].

В него знаем височината [tex]h[/tex] към [tex]AC[/tex] ( подусловие a.) ).

[tex]ММ_1=ST[/tex] (разстоянието от права до успоредна на нея равнина е константа).

[tex](h-ST):h=FM:FC=MN:CD=MN:a[/tex]

Знаейки двете основи и височината (равна на PS) в търсеното сечение (трапец) може да намериш лицето му.

[Гост]

Благодаря!

[S.B.]

Имам нужда от помощ за б).

geogebra-export (1).png (444.07 KiB) Прегледано 256 пъти

А)
[tex]OM \bot ABCD[/tex] - височина на пирамидата $MABCD$
Околните стени на пирамидата сключват равни ъгли [tex]\beta[/tex] с основата [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $M$ се проектира върху центъра $O$ на вписаната в основата окръжност,която се допира до $AB$ в т.$P$, а до $CD$ в т.$Q$
$OP = r$ и е проекцията на апотемата $MP$ върху основата.[tex]OP \bot AB \Rightarrow MP \bot AB[/tex]( по теоремата за трите перпендикуляра) [tex]\Rightarrow \angle MPO = \beta[/tex]
От [tex]\triangle POM \rightarrow \frac{OM}{OP} = \tg \beta \Rightarrow OM = r\tg \beta[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{ABCD } = a^{2 }.\sin \alpha \\ S_{ABCD } = 2a.r \end{cases} \Rightarrow 2a.r = a^{2 }\sin \alpha[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{ a^{2 }\sin \alpha }{2} \Leftrightarrow 2r = a^{2 } \sin \alpha $$
$$OM = r.\tg \beta \Rightarrow OM = \frac{ a^{2 }\sin \alpha.\tg \beta }{2} $$

Б)
[tex]\triangle PQM[/tex] е равнобедрен (ЗАЩО?) [tex]\Rightarrow \angle MPQ = \angle QPM = \beta[/tex]
[tex]N \in QM, QPN = \gamma \Rightarrow \angle NPM = \beta - \gamma , \angle PNM = \beta + \gamma[/tex]

По пресичащите се прави $AB$ и $PN$ построявам равнина [tex]\lambda[/tex],която минава през основния ръб $AB$ и сключва с равнината на основата [tex]\angle NPQ = \gamma[/tex]:
Построявам права [tex]l \begin{cases} l z N\\ l|| DC \end{cases}[/tex]
[tex]l \cap DM = A_{1 } , l \cap CM = B_{1 }[/tex]
Четириъгълникът [tex]AB B_{1 } A_{1 }[/tex] е търсеното сечение на $MABCD$ с равнината [tex]\lambda[/tex]
[tex]\begin{cases} AB || CD \\ A_{1 } B_{1 } || DC \end{cases} \Rightarrow AB|| A_{1 } B_{1 }[/tex]
[tex]A A_{1 }[/tex] и [tex]B B_{1 }[/tex] не са успоредни,защото равнините в които лежат не са успоредни.
[tex]\Rightarrow AB B_{1 } A_{1 }[/tex] е трапец (четириъгълник на който две от страните са успоредни, а другите две не са)

$$S_{AB B_{1 } A_{1 } } = \frac{AB + A_{1 } B_{1 } }{2}.PN $$
За [tex]\triangle PQN[/tex] прилагам Синусова теорема и намирам :
$$PN = \frac{a\sin \alpha.\sin \beta }{\sin( \beta+ \gamma) } $$
[tex]\triangle CDM \approx \triangle A_{1 } B_{1 }M \Rightarrow \frac{CD}{ A_{1 } B_{1 } } = \frac{MQ}{MN} \Rightarrow A_{1 } B_{1 } = \frac{CD.MN}{MQ}[/tex] (*)

От [tex]\triangle MOP \rightarrow \frac{OP}{MP} = \cos \beta \Leftrightarrow MP = \frac{r}{\cos \beta } \Leftrightarrow MQ = MP = \frac{a.\sin \alpha }{2.\cos \beta }[/tex]

За [tex]\triangle PMN[/tex] прилагам Синусова теорема и намирам:
[tex]MN = \frac{a.\sin \alpha.\sin ( \beta - \gamma )}{2.\cos \beta.\sin ( \beta+ \gamma )}[/tex]

Замествам в(*) и получавам:
$$A_{1 } B_{1 } = \frac{a.\sin ( \beta- \gamma) }{\sin ( \beta+ \gamma) } $$
[tex]S_{AB B_{1 } A_{1 } } = \frac{ AB + A_{1 } B_{1 } }{2}.PN[/tex]
след заместване и тригонометрична преработка се получава :
[tex]S_{AB B_{1 } A_{1 } } = \frac{ a^{2 }.\sin \alpha . \sin^{2 } \beta.\cos \gamma }{ \sin^{2 }( \beta+ \gamma )}[/tex]

[Гост]

Решението на S. B. ми харесва повече. Има и чертеж!