Физика

[Гост]

Опитвам се да реша следната задача с енергетичен метод. Нека след някакво време блокчето пада с височина x, тогава преди да падне пот. Е. W=mgx, а непосредствено преди да достигне тази височина, неговата енергия преминава в негова кинетична, кинетична на движещата се пружина, кинетична на въртящата се макара, както и пружинна потенциална. Оттам не знам какви величини трябва да изразя за периода. Ще съм благодарен за помощ.

Mgx=Mv^2/2+Iw^2/2 (w=v/r, I=mr^2/2)+m1v^2/2+kx^2/2.
Също не съм сигурен дали за кинетичната енергия на пружината трябва да вземем пълната и маса, като се има предвид че центъра на масите й се движи с x/2

[pipi langstrump]

А къде е задачата?

[Гост]

Без да искам.

[Гост]

Правилния отговор е :
\boxed{T = 2\pi \sqrt{\frac{2M + m_1 + m}{k}}}

[pipi langstrump]

Не ти трябват енергитични методи. Намери уравнението на движението на тялото във вида Ma + Ky = 0, където К е параметър, който трябва да намериш, а y е координатата му по вертикалата и зa периода ще намериш, че е [tex]T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}[/tex]

[Гост]

Не разбирам какво предлагате. В нашите учебници за 11 клас ни казват да намерим максималните кинетична и потенциална енергия, да вземем константите Ck и Cw пред тях и да използваме T=2pisqrt(Ck/Cw). Може ли да обясните Вашия подход?

[pipi langstrump]

Хубаво, става и така, ама със знания за 11 клас как ще намериш кинетичната енергия на пружината не ми е ясно. Докато с метода със силите все нещо може да се измисли. Например достстъчно е да докажем, че центъра на масите на пружината се движи 2 пъти по бавно от десния й край.

[pipi langstrump]

Означенията са на чертежа. $a$ e ускорението на трупчето, $\varepsilon $ - на макарата, а $a_1 $ - на центъра на масите на пружината. $x$ е отклонението на десния край на пружината от левия й (който приемаме за начало). Записваме уравненията на движение на всички тела:

$Ma = Mg - f_1$

$(f_1 - f_2)r = I\varepsilon$

$f_2 - f_3 = m_1a_1$

$f_3 = k(x-l_0)$

Сега понеже нишката е неразтеглива, това означава, че $\varepsilon = a/r$ и също, че ускорението на десния край на пружината също е $a$. Може да се докаже още (за домашно), и че $a_1 = a/2$. Като вземем предвид всичко това системата се свежда до

$Ma = Mg - f_1$

$f_1 - f_2 = \frac{ma}{2} $

$f_2 - f_3 = \frac{m_1a}{2}$

$f_3 = k(x-l_0)$

Сега остана да я решиш и да изведеш уравнението на движението на тялото, което ще е във вида Ma + Kx = const. и оттам по познатата формула намираш периода.

[Гост]

След като съм стигнал до Ma+Kx=const. Как да намеря периода?

[Гост]

С енергетичния метод се получава (донякъде).
Кинетичните енергии са Mv^2/2, mv^2/4 (заради инерчния момент) , и m1v^2/4. Тогава Ck = 1/4(2M+m+m1) , а потенциалната енергия е kx^2/2, Cw= k/2. Само не знам защо масата на пружината трябва да се вземе наполовина (за да стане правилния отговор)

[pipi langstrump]

След като съм стигнал до Ma+Kx=const. Как да намеря периода?

По принцип не можеш със знания за 11 клас, но в училище периодът на хармоничното трептене се дава наготово. Едно тяло извършва хармонично трептене, когато връщащата го сила е пропорционална c обратен знак на отклонението му от равновесното му положение. Или F= ma = -kx, т.е. ma+kx =0. Добавянето на константна сила не променя периода. По-общо казано всяко уравнение от вида Ma +Kx = const. задава хармонично трептене, дори и M и K да не са маси и коефициенти на пропорционалност на конкретно тяло и пружина (както в случая M не е масата на трупчето, а нещо като обща, "приведена" маса на системата). И теорията казва, че в този случай периодът на трептене се намира с формулата [tex]T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}[/tex]

[Гост]

Благодаря. Искам да споделя, в същия сборник, по-предишна задача, се казва:

Хармонично трептене е, когато: x=Asin(wt)
v=dx/dt= Awcos(wt), a=dv/dt=-w^2Asin(wt)=-w^2x, vmax=Aw, amx=Aw^2, w=amax/vmax , T=2pivmax/amax. Можете ли да ми кажете това как е свързано с sqrt(m/k)? Благодаря

[pipi langstrump]

Това уравнение $x= A \sin (\omega t) \space (1)$ се получава като решим уравнението [tex]Mx''+ Kx = 0 \space (2)[/tex]. Съответно коефициентът $\omega$ е свързан с $M$ и $K$ и връзката се получава като диференцираме (1) 2 пъти. Става $x'= A\omega \cos (\omega t) $ и $x''= -A\omega^2 \sin (\omega t) =- \omega^2 x$ или $x''+ \omega ^2 x = 0$ Като сравниш това с (2) се получава [tex]\omega ^2 = \frac{K}{M}[/tex] и оттук [tex]T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{K} }[/tex]

[Гост]

Мерси, разбрах го и го разписах със сили. А според вас защо с енергия се получава същия отговор, когато се вземе масата на пружната наполовина(за кинетичната енергия)? Установих го като сравних получените отговори.

ПП: Вие физик ли сте? Имам интерес да следвам физика / инженерство, и събирам мнения за университети, чужбина и т.н

[Гост]

Мерси, разбрах го и го разписах със сили. А според вас защо с енергия се получава същия отговор, когато се вземе масата на пружната наполовина(за кинетичната енергия)? Установих го като сравних получените отговори.

ПП: Вие физик ли сте? Имам интерес да следвам физика / инженерство, и събирам мнения за университети, чужбина и т.н

Понеже разбира се виждам, че имате знания в тази сфера

[pipi langstrump]

Ами не е толкова кинетичната енергия на пружината. Ако я намерим чрез директно интегриране, се получава $E_{k1} = \frac{1}{6}m_1v^2$ ($v$ е скоростта на десния й край). За потенциалната й енергия също е получaва нещо подобно $E_{p1} = \frac{1}{6}k(x-l_0)^2$. Дали с тези стойности обаче ще се получи същия период, както с метода на силите? Май не, трябва по-задълбочено да се помисли.

П.п. не съм физик, просто физиката ми е интересна. Ако ще следваш физика в България има само едно място и това е в Софийския. За инженерни науки Техническия може би е най-добрия избор. Ама то с тия нови такси май по-добре директно да следваш в чужбина.