Задача по механика

[Гост]

Здравейте, моля за помощ относно следната задача, аз получавам s2=Ms/(M-m) , но дадения отговор е по-дълъг. Боравих изцяло с енергия, използвах също, че скоростите на двете са еднакви (след пускането).

[pipi langstrump]

И аз получавам толкова.

[Гост]

Супер

Тоест разстоянието между тях зависи само от масите им, и изминатия след пускането път на M, но не и от коефициента на триене или началната им скорост? Това според вас логично ли е?

[pipi langstrump]

Да, напълно логично и закономерно, като вземем предвид, че забавянето на влака и вагона е еднакво по време на равнозакъснителното им движение, а началните им скорости в началото на това движение се различават само с фактор, който не зависи от самата начална скорост, т.е. и тя отпада. Дори и самите маси не са определящи, а само отношението им.

[ammornil]

Според мен, зависи как интерпретирате условието. Дали влакът запазва теглещата сила след като откача последния вагон или запазва скоростта си на движение (намалява теглещата сила респективно).

Ако теглещата сила се запазва, тогава за времето на изминаване на пътя $s$ влакът ще се ускорява, с ускорение $a_{2}=\dfrac{M\cdot{f}}{M-m}$ и пътува време $t_{2} \Rightarrow \\[6pt] s=v_{0}t_{2} +\dfrac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2} \Leftrightarrow v_{0}t_{2} +\dfrac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2}-s=0 \Leftrightarrow t_{2}=\dfrac{-v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s}}{a_{2}} \Rightarrow v_{2}=v_{0}+a_{2}t_{2}=v_{0}-v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s} =\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s}$. От тази скорост влакът започва закъснително движение с укорение $-f \Rightarrow t_{stop}=\dfrac{v_{2}}{f} \Rightarrow s_{stop}=v_{2}t_{stop}-\dfrac{1}{2}ft_{stop}^{2}=\dfrac{v_{2}^{2}}{f}- \dfrac{v_{2}^{2}}{2f}= \dfrac{v_{2}^{2}}{2f}= \dfrac{v_{0}^{2}+2a_{2}s}{2f}= \dfrac{v_{0}^{2}}{2f}+\dfrac{M\cdot{s}}{M-m}$.
За вагона, ще имаме забавяне веднага след като е откачен, следователно ще спре след време $t_{1}=\dfrac{v_{0}}{f}$ изминавайки път $s_{1}=v_{0}t_{1}+\dfrac{1}{2}at_{1}^{2}= v_{0}\cdot{\dfrac{v_{0}}{f}}-\dfrac{1}{2}f\cdot{(\dfrac{v_{0}}{f})^{2}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2f}$
Тогава разстоянието между двете тела в момента на спиране на влака е $ \Delta{s}=s_{stop}+ s -s_{1}= s +\dfrac{M\cdot{s}}{M-m} = s \left(1+ \dfrac{M}{M-m} \right)= \dfrac{2M-m}{M-m}\cdot{s}\\[6pt] $

Ако след откачане на вагона, скоростта на влака се запазва постоянна равна на началната, тогава след изключване на двигателя, на влака действа само силата на триене. Вагонът започва да се забавя веднага след като е откачен, следователно ще спре след време $t=\dfrac{v_{0}}{f}$ изминавайки път $s_{1}=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}= v_{0}\cdot{\dfrac{v_{0}}{f}}-\dfrac{1}{2}f\cdot{(\dfrac{v_{0}}{f})^{2}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2f}$. Влакът изминава път $s$ и след това започва да спира, като също изминава път $s_{2}=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}= v_{0}\cdot{\dfrac{v_{0}}{f}}-\dfrac{1}{2}f\cdot{(\dfrac{v_{0}}{f})^{2}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2f}$. Оттук изглежда, че разстоянието между тях е $\Delta{s}=s_{2} +s -s_{1}= s$

[pipi langstrump]

В условието ясно е казано, че движещата сила на влака е постоянна, няма място за интерпретации.

[Гост]

Ammornil, силата на двигателя на влака е постоянна. Тя го ускорява по време на пътя s. Сега не мога да погледна подробно, Вашия отговор се различава от този на мен и на Langstrumpf?

[ammornil]

Да, не съм дочел условието до края. Значи има само един вариант за разглеждане.

Според мен е това: за времето на изминаване на пътя $s$ влакът ще се ускорява, с ускорение $a_{2}=\dfrac{M\cdot{f}}{M-m}$ и пътува време $t_{2} \Rightarrow \\[6pt] s=v_{0}t_{2} +\dfrac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2} \Leftrightarrow v_{0}t_{2} +\dfrac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2}-s=0 \Leftrightarrow t_{2}=\dfrac{-v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s}}{a_{2}} \Rightarrow v_{2}=v_{0}+a_{2}t_{2}=v_{0}-v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s} =\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s}$. От тази скорост влакът започва закъснително движение с укорение $-f \Rightarrow t_{stop}=\dfrac{v_{2}}{f} \Rightarrow s_{stop}=v_{2}t_{stop}-\dfrac{1}{2}ft_{stop}^{2}=\dfrac{v_{2}^{2}}{f}- \dfrac{v_{2}^{2}}{2f}= \dfrac{v_{2}^{2}}{2f}= \dfrac{v_{0}^{2}+2a_{2}s}{2f}= \dfrac{v_{0}^{2}}{2f}+\dfrac{M\cdot{s}}{M-m}$.
За вагона, ще имаме забавяне веднага след като е откачен, следователно ще спре след време $t_{1}=\dfrac{v_{0}}{f}$ изминавайки път $s_{1}=v_{0}t_{1}+\dfrac{1}{2}at_{1}^{2}= v_{0}\cdot{\dfrac{v_{0}}{f}}-\dfrac{1}{2}f\cdot{(\dfrac{v_{0}}{f})^{2}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2f}$
Тогава разстоянието между двете тела в момента на спиране на влака е $ \Delta{s}=s_{stop}+ s -s_{1}= s +\dfrac{M\cdot{s}}{M-m} = s \left(1+ \dfrac{M}{M-m} \right)= \dfrac{2M-m}{M-m}\cdot{s}\\[6pt] $

[pipi langstrump]

Няма как да е верен тоя отговор, провери си сметките. Ако беше верен, щеше да излезе, че при пренебрежимо малка $m$ то $s_1 = 2s$, а в тоя случай влака след откачването продължава да се движи равномерно със същата скорост и след спиране на мотора изминава същото разстояние, каквото и вагона. Така че след като спрат напълно между тях остава само разстоянието s.

[ammornil]

Няма как да е верен тоя отговор, провери си сметките. Ако беше верен, щеше да излезе, че при пренебрежимо малка $m$ то $s_1 = 2s$, а в тоя случай влака след откачването продължава да се движи равномерно със същата скорост и след спиране на мотора изминава същото разстояние, каквото и вагона. Така че след като спрат напълно между тях остава само разстоянието s.

Твърдението Ви е логично и вероятно сте прав, но не виждам къде е грешката...

[pipi langstrump]

Още в началото ти е грешката. Ускорението на влака в първата част не е [tex]\frac{M}{M-m}fg[/tex], a [tex]\frac{m}{M-m}fg[/tex]. И това се проверява лесно, ако предположим, че m е пренебрежимо малка - по твойте сметки, излиза, че тогава ускорението ще е максимално, а в действителност ще е 0.

[Гост]

Ammornil, не те нападам или нещо такова, но не Ви ли е по-лесно с енергия? Аз се побързвам от постоянните квадратни уравнения за t , които винаги се появявят(не само в тази зад.).

[pipi langstrump]

За тая задача не са нужни квадратни уравнения за t. Може да използваме наготово връзката между скорост, път и ускорение при равноускорително движение [tex]s =\frac{v^2-v_0^2}{2a}[/tex] и сметките стават много лесни.

[ammornil]

Тогава: за времето на изминаване на пътя $s$ влакът ще се ускорява, с ускорение $a_{2}=\dfrac{m\cdot{f}}{M-m}$ и пътува време $t_{2} \Rightarrow \\[6pt] s=v_{0}t_{2} +\dfrac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2} \Leftrightarrow v_{0}t_{2} +\dfrac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2}-s=0 \Leftrightarrow t_{2}=\dfrac{-v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s}}{a_{2}} \Rightarrow v_{2}=v_{0}+a_{2}t_{2}=v_{0}-v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s} =\sqrt{v_{0}^{2}+2a_{2}s}$. От тази скорост влакът започва закъснително движение с укорение $-f \Rightarrow t_{stop}=\dfrac{v_{2}}{f} \Rightarrow s_{stop}=v_{2}t_{stop}-\dfrac{1}{2}ft_{stop}^{2}=\dfrac{v_{2}^{2}}{f}- \dfrac{v_{2}^{2}}{2f}= \dfrac{v_{2}^{2}}{2f}= \dfrac{v_{0}^{2}+2a_{2}s}{2f}= \dfrac{v_{0}^{2}}{2f}+\dfrac{m\cdot{s}}{M-m}$.
За вагона, ще имаме забавяне веднага след като е откачен, следователно ще спре след време $t_{1}=\dfrac{v_{0}}{f}$ изминавайки път $s_{1}=v_{0}t_{1}+\dfrac{1}{2}at_{1}^{2}= v_{0}\cdot{\dfrac{v_{0}}{f}}-\dfrac{1}{2}f\cdot{(\dfrac{v_{0}}{f})^{2}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2f}$
Тогава разстоянието между двете тела в момента на спиране на влака е $ \Delta{s}=s_{stop}+ s -s_{1}= s +\dfrac{m\cdot{s}}{M-m} = s \left(1+ \dfrac{m}{M-m} \right)= \dfrac{M}{M-m}\cdot{s}\\[6pt] $

$$ \rule{8cm}{0.4pt} \\[12pt] s =\dfrac{v^2-v_0^2}{2a} $$
Тази формула се извежда с интегриране на двете страни на диференциално кинетично равенство. Не съм сигурен дали е учено в среден курс на обучение. Затова предлагам решение с квадратен тричлен от общата форма на закона за пътя при равнопроменливо движение.

Скрит текст: покажи

$$\begin{cases} a=\dfrac{dv}{dt} \\[6pt] v=\dfrac{ds}{dt} \end{cases} \Rightarrow a=v\dfrac{dv}{ds} \Leftrightarrow \dfrac{a}{v}=\dfrac{dv}{ds} \Leftrightarrow vdv=ads \\[12pt] \int\limits_{v_{0}}^{v_{1}}{vdv} = \int\limits_{0}^{s}{ads} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{v_{1}^{2}}{2}-\dfrac{v_{0}^{2}}{2}= a\cdot{s} \\[12pt] s =\dfrac{v_{1}^2-v_0^2}{2a} $$

Благодаря, че отделихте време да разгледате решението ми и да ми посочите къде съм сгрешил.

[pipi langstrump]

А тая обща форма на закона за пътя при равнопроменливо движение не е ли изведена и тя с интегриране? Формулата чрез скоростите е директно следствие от него. Имаме

[tex]t= \frac{v-v_0}{a} \space (1)[/tex]
[tex]S = v_0t + \frac{at^2}{2} \space (2)[/tex]

Остава да заместим (1) в (2) и след малко преобразуване да получим формулата. Тия неща се учат още в 9 клас.

Между другото (2) може да се докаже и без интеграли. Достатъчно е да знаем, че във vt диаграмата пътят се намира като площта под графиката на функцията v(t). В случая графиката е права линия и както се вижда от чертежа фигурата под нея е трапец и площта му е (а+б)h/2 или $S = \frac{1}{2}(v_2 + v_1)(t_2-t_1) \space (3)$ От (1) имаме $v_2 = v_1 + at$, и като заместим в (3) става $S = \frac{1}{2}(v_1 + at + v_1)t = v_1t + \frac{at^2}{2} $
Има и друг начин с граница на редица, което е достъпно за 11 клас.