Намерете целочислените решения

[ammornil]

Да се намери за кои цели стойности на $x$ е вярно равенството $$ 2\cdot{}(5^{x} +6^{x} -3^{x})= 7^{x} +9^{x} $$ Задачата е от национален кръг на математическа олимпиада в Република Румъния, 10 клас.

[Гост]

0 ; 1

[pal702004]

Очевидно при $x \ge 2$ лявата страна е по-малка от дясната, а за отрицателни лявата е отрицателна.

[ammornil]

Технически, лявата страна става отрицателна някъде наляво от $-1$, но за $x\in{(-\infty;0)}\cup(1;+\infty) \Rightarrow 2\cdot{}(5^{x} +6^{x} -3^{x}) -(7^{x} +9^{x})<0 $

Скрит текст: покажи

Screenshot 2025-08-04 150535.png (30.11 KiB) Прегледано 479 пъти

[geoder]

На състезание как трябва да се формулура решението?

[ammornil]

Да се намери за кои цели стойности на $x$ е вярно равенството $$ 2\cdot{}(5^{x} +6^{x} -3^{x})= 7^{x} +9^{x} $$ Задачата е от национален кръг на математическа олимпиада в Република Румъния, 10 клас.

Понеже се търсят целочислените решения, обикновено проверяваме малките стойности най-напред и после изследваме поведението на фунцкията. $\\[24pt]$Многочленът е сума на показателни функции с различни основи. За показателните функции е характерно, че ако степенният показател е по-голям или равен на 1, функцията с по-голяма основа расте по-бързо от функцията с по-малка основа, а когато степенният показател е по-малък или равен на -1, функцията с по-голяма основа намалява по-бързо от функцията с по-малка основа.$\\[12pt]$Нека прехвърлим всичко отляво: $\\[12pt] 2\cdot{}(5^{x} +6^{x} -3^{x})- 7^{x} -9^{x}= 0 \\[6pt] x=0 \rightarrow \quad 2\cdot{}(1 +1 -1) -1 -1= 0 \Leftrightarrow 0=0 \Rightarrow x=0$ e решение $\\[6pt] x=1 \rightarrow \quad 2\cdot{}(5 +6 -3)-7 -9= 0 \Leftrightarrow 0=0 \Rightarrow x=1$ e решение $\\[6pt] x=-1 \rightarrow \quad 2\cdot{}\left(\dfrac{1}{5} +\dfrac{1}{6} -\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}=0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{15} -\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}\neq{0} \Rightarrow x=-1$ не e решение $\\[6pt] $ От казаното по-горе, когато $x$ расте над $1$, степените с основи $7$ и $9$ растат най-бързо, което прави целия израз отрицателен. За стойности по-малки от $-1$, в скобите изразът с основа $3$ има най-голяма абсолютна стойност, така че изразът в скобите е отрицателен и това отново прави целия израз отрицателен.$\\[18pt]$Забележка: Kъдето говорим за "стойностите на аргумента" имаме в предвид дискретните целочислени стойности на аргумента $x. \\ \hspace{4.6em}$За пълнота на решението е добре да се покаже дефиниционно множествот $x\in{Z}$.