Обобщение на ПМС 2022 10.2

[Гост]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC с център на вписаната окръжност I. Нека ъглополовящата през върха C пресича описаната около [tex]\triangle[/tex]ABC окръжност в точка L.Нека точките M и N от страната AB са такива, че[tex]\angle[/tex] AIM=[tex]\angle[/tex] BIN=90[tex]^\circ[/tex]. Ако [tex]\frac{CI}{IL}[/tex]=x, да се изрази [tex]\frac{MN}{AB}[/tex] чрез x.

[Darina73]

Аз получих [tex]\frac{MN}{AB}[/tex] = [tex]\frac{х}{2х+4}[/tex]

[Гост]

По принцип в частния случай ( задача 2 за 10 клас на ПМС 2022), когато x=2, [tex]\frac{MN}{AB}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex], така че формулата, която сте дали не е вярна. Въпреки това може ли да качите/скицирате решението си?

[Darina73]

Гост ,когато х=2 ,тогава [tex]\frac{MN}{AB}= \frac{1}{4}[/tex] .
Какъв е отговора ?

[Гост]

Работим със стандартни означения за страните на [tex]\triangle[/tex] ABC.Нека ID [tex]\bot[/tex]AB. Тогава ID=r е височина в правоъгълните триъгълници [tex]\triangle[/tex]AIM и [tex]\triangle[/tex]BIN т.е. можем да приложим известната метрична зависимост ID.ID=ND.DB и ID.ID=MD.DA. Оттук MN=MD+DN=[tex]\frac{ r^{2 } }{p-a}[/tex]+[tex]\frac{ r^{2 } }{p-b}[/tex]. Сега заместваме [tex]r^{2 }[/tex] с [tex]\frac{ S^{2 } }{ p^{2 } }[/tex], а [tex]S^{2 }[/tex] - с p(p-a)(p-b)(p-c). И така, MN=[tex]\frac{(p-c)(p-b)}{p}[/tex]+[tex]\frac{(p-c)(p-a)}{p}[/tex]=[tex]\frac{(p-c)(2p-a-b)}{p}[/tex]=[tex]\frac{(p-c)c}{p}[/tex]. Понеже търсим [tex]\frac{MN}{c}[/tex], трябва да намерим [tex]\frac{p-c}{p}[/tex], което е равно на [tex]\frac{a+b-c}{a+b+c}[/tex]. Тук вече ще използваме x. Понеже [tex]\frac{CI}{IL}[/tex]=x, тогава [tex]\frac{CL}{IL}[/tex]=1+x. Също така IL=AL=LB от добре известната Лема на тризъбеца. От теорема на Птолемей за вписания четириъгълник ABCL, имаме CL.c=AL.a+BL.b=IL(a+b) [tex]\Rightarrow[/tex] (a+b)=[tex]\frac{CL}{IL}[/tex]c=(1+x)c. Оттук[tex]\frac{a+b-c}{a+b+c}[/tex]=[tex]\frac{cx}{c(2+x)}[/tex]=[tex]\frac{x}{2+x}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{MN}{AB}[/tex]=[tex]\frac{x}{2+x}[/tex]

[Darina73]

Намерих си грешката . Скоро ще пратя решението си .

[Darina73]

Нека впис.окр. допира АС в т. G , т.Р е среда на АВ .
Тъй като нямаме фиксирана отс. ,аз приех ,че IL =1 и CI=x .
[tex]\angle[/tex]ALC=[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex]
[tex]\angle[/tex]LAB=[tex]\angle[/tex]LCB=[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]
[tex]\angle[/tex]BAI=[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]
В [tex]\triangle[/tex]ALI намираме [tex]\angle[/tex]AIL=[tex]\frac{ \alpha+ \gamma }{2}[/tex]
Според ъглите [tex]\triangle[/tex]ALI е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] AL =AI =1 (1)
([tex]\triangle[/tex]GIC -правоъг.) sin[tex]\frac{ \gamma }{2}= \frac{GI}{CI}[/tex] ;r=x.sin[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex] (2)
От теорема на Птолемей за вписания четитиъгълник имаме AB.CL=BC.AL+AC.BL ; c(x+1)= a+b (3)
([tex]\triangle[/tex]ALP - правоъг.) cos[tex]\frac{ \gamma }{2}= \frac{AP}{AL}[/tex] ;cos[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{c}{2} }{1}[/tex] ; c=2cos[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex] (4)
Прилагаме cos T за [tex]\triangle[/tex]ABC и получаваме ab= [tex]\frac{ (a+b)^{2 } -c^{2 } }{4 cos^{2 } \frac{ \gamma }{2} }[/tex] (5)

([tex]\triangle[/tex]HMI) tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{MH}{IH}[/tex] ;MH=r.tg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]NHI) tg[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{NH }{IH}[/tex] ;NH=r.tg[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex]

[tex]\frac{MN}{AB}[/tex]=[tex]\frac{r(tg \frac{ \alpha }{2}+tg \frac{ \beta }{2} ) }{c}[/tex] =[tex]\frac{x.sin \frac{ \gamma }{2}(tg \frac{ \alpha }{2}+tg \frac{ \beta }{2}) }{2.cos \frac{ \gamma }{2} }[/tex]= [tex]\frac{x}{2} .tg \frac{ \gamma }{2}(tg \frac{ \alpha }{2} +tg \frac{ \beta }{2})[/tex] Ойлерови формули

=[tex]\frac{x}{2} . \frac{ \sqrt{(p-a)(p-b)} }{ \sqrt{p(p-c)} }[/tex]( [tex]\frac{ \sqrt{(p-b)(p-c)} }{ \sqrt{p(p-a)} }[/tex] + [tex]\frac{ \sqrt{(p-a)(p-c)} }{ \sqrt{p(p-b)} }[/tex] ) =

=[tex]\frac{x}{2}( \frac{p-b}{p} + \frac{p-a}{p} )= \frac{x}{2} . \frac{c}{p}[/tex]=[tex]\frac{x}{2} . \frac{2cos \frac{ \gamma }{2} }{ \frac{ S_{ABC } }{r} }[/tex]=

=[tex]\frac{2xr.cos \frac{ \gamma }{2} }{ab.sin \gamma } = \frac{x.x( 2sin \frac{ \gamma }{2}.cos \frac{ \gamma }{2} ) }{ab.sin \gamma }[/tex]=[tex]\frac{ x^{2 } }{ab} = \frac{ x^{2 }4 cos^{2 } \frac{ \gamma }{2} }{ (a+b)^{2 } - c^{2 } }[/tex]=

= [tex]\frac{ x^{2 }4 cos^{2 } \frac{ \gamma }{2} }{ c^{2 } (x+1)^{2 } -c^{2 } }[/tex]=[tex]\frac{ x^{2 } (4cos^{2 } \frac{ \gamma }{2} )}{x(x+2) c^{2 } }[/tex]= [tex]\frac{x c^{2 } }{(x+2) c^{2 } }=[/tex][tex]\frac{x}{x+2}[/tex]