Пирамида и центрове

[ins-]

Даден е тетраедър $ABCD$, на който двойките срещуположни ръбове са с равни дължини. Точките $O$ и $H$ са съответно център на вписаната окръжност и ортоцентър на триъгълника $BCD$, а $P$ е петата на перпендикуляра от $A$ към $BCD$ (вътрешна точка за $BCD$). Да се докаже, че $O$, $P$, $H$ лежат на една права и $OP=OH$.

[Гост]

Получих, че твърдението е вярно ако точка О е център на ОПИСАНАТА около, а не на ВПИСАНАТА в триъгълника BCD окръжност.

Пирамида и центрове-page-001.jpg (243.27 KiB) Прегледано 328 пъти

[ins-]

Допуснал съм грешка в условието. Описаната окръжност трябва да е вместо вписаната. Благодаря за решението!

Идеята ми за решение беше да се докаже, че за тетраедри от този вид медицентърът, центърът на описаната сфера и центърът на вписаната сфера съвпадат. След това да се ползва права на Ойлер.