Задача за окръжност

[Гост]

Окръжност се допира да до две съседни стени на квадрат и дели всяка от другите две страни на отсечки с дължина от 2 см и 23 см. Намерете радиуса на окръжността.

[Darina73]

R =17 см. ?

[Гост]

Да , това е отговора. Но може ли малко помощ.

[Darina73]

ABCD е квадрат
Нека окр.се допира до AB и AD съотв. в т.H и т.P .
Окр. пресича BC и CD съотв. в т.M и т.N .
Нека правата CD пресича окр. в т.T .
BM=DN =2 см. ,CM=CN =23 см. ,означаваме CT=x
__________________________________________
R=?
AHOP е квадрат със страна = R т.е. AP=R
тогава DP=25-R
Лесно ще се досетиш ,че DN.DT=[tex]DP^{2 }[/tex] ;2(25+x)= [tex](25-R)^{2 }[/tex]

x=[tex]\frac{ R^{2 } -50R+575}{2}[/tex] (1) и x>0 (2)
[tex]\triangle[/tex]MCN е правоъг. и равнобедрен (NC=MC=23) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MNC=45[tex]^\circ[/tex] ,значи и [tex]\angle[/tex]MNT=45[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]MTC е правоъгълен с катети х и 23, намираме
[tex]MT^{2 } = \frac{1}{4} (R^{4 } -100R^{3 } +3650R^{2 }-57 500R+332 741)[/tex] (3)

[Гост]

[tex]\triangle[/tex]MTN е вписан в окр.
[tex]\frac{MT}{sin45 ^\circ }[/tex]=2R ;MT=R[tex]\sqrt{2}[/tex] ;[tex]MT^{2 } =2R^{2 }[/tex] (4)
Приравнявайки (3) и (4) стигаме до ур-то [tex]R^{4 } -100R^{3 } +3642R^{2 } -57500R+332741 =0[/tex]

Чрез формулата на Хорнер намираме ,че корените са 17 ,23 и 37 .
[tex]R_{1 }[/tex]=17 см.,[tex]R_{2 }[/tex]=23 см. и [tex]R_{3 }[/tex]=37 см.
Очевидно [tex]R_{3 }[/tex]отпада .
Заместваме [tex]R_{2 }[/tex] в (1) и получаваме ,че х<0 ,което не съответства на чертежа ни и отг. [tex]R_{2 }[/tex] отпада .
Остава R=17 см.

[Гост]

Благодаря! Много полезно.