Задачка за вписана окръжност

[Гост]

Даден е ABC , чиято вписана окръжност се допира до AB, BC и AC в точки D, E и F съответно. На правата DE след E е избрана точка M, а правата CМ пресича правата DF в точка N. Нека X е пресечната точка на FM и EN.
а) Да се докаже, че DEFX е вписан в окръжност.
б) Да се докаже, че правите DX, EF, AM и BN се пресичат в една точка.
(Обещавам до няколко дни да кача решение, ако никой не качи нищо)

[Гост]

(Обещавам до няколко дни да кача решение, ако никой не качи нищо)

Ами качвай!Сам си измисляш задачите, сам си ги решаваш !

[Гост]

а) Нека FM пресича описаната около [tex]\triangle[/tex]DEF окръжност в точка [tex]X^{' }[/tex]. Нека [tex]EX^{'}[/tex] пресича DF в точка [tex]N^{' }[/tex]. Целим да покажем, че [tex]N^{ } \equiv N^{' }[/tex], откъдето ще следва, че [tex]X^{ } \equiv X^{' }[/tex], с което ще сме готови. [tex]N^{ } \equiv N^{' }[/tex] е еквивалентно на това да докажем, че [tex]C^{ }[/tex],[tex]M^{ }[/tex] и [tex]N^{' }[/tex] лежат на една права. Разглеждаме полярно съответствие спрямо описаната около [tex]\triangle[/tex]DEF окръжност. Нека [tex]DX^{' } \cap EF^{ }[/tex]=[tex]G^{ }[/tex]. От полярно свойство на секущите следва, че [tex]MN^{' }[/tex] е полярата на [tex]G^{}[/tex]. Понеже EF е полярата на C (CE и CF са допирателни към описаната около [tex]\triangle[/tex]DEF окръжност ) и [tex]G^{ }[/tex] очевидно лежи на нея, C лежи на полярата на [tex]G^{ }[/tex]. Оттук следва,че [tex]C^{ }[/tex],[tex]M^{ }[/tex] и [tex]N^{' }[/tex] лежат на една права - полярата на [tex]G^{}[/tex].

б) Работим с означенията от а). Ще покажем,че A,M и G лежат на една права - полярата на N. Добре известно е, че M и G са полярно спрегнати с N т.е. лежат на полярата на N. По очевидни причини правата DF съвпада с полярата на A и понеже N лежи на нея, значи A лежи на полярата на N. Следователно A,M и G наистина лежат на полярата на N. По напълно аналогичен начин показваме, че B,N,G лежат на полярата на M. Оттук следва, че четирите прави от условието се пресичат в точка G.

(Задачата е взета от последния брой на списание "Квант", като там е дадено, че [tex]\triangle[/tex]ABC е равностранен, но това не се използва никъде в горното доказателство).

[123a]

четирите прави от условието се пресичат в точка G.

(Задачата е взета от последния брой на списание "Квант", като там е дадено, че [tex]\triangle[/tex]ABC е равностранен, но това не се използва никъде в горното доказателство).

Фактът, че [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен, помага да се реши задачата с два реда писане.

Щом [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен, то [tex]\triangle ADF, BDE[/tex] са също равностранни. Ако построим двете ъглополовящи през върховете [tex]BAC[/tex] и [tex]ABC[/tex], ще видим, че центърът на вписана в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност е ортоцентър в [tex]\triangle EDF[/tex]. Откъдето лесно се доказва, че [tex]X[/tex] е симетрична на ортоцентъра спрямо[tex]EF[/tex]. От там директно следва, че лежи на описаната около [tex]\triangle EDF[/tex] окръжност.

[Гост]

Струва ми се, че това което твърдиш, не е вярно, понеже X мени положението си когато движим M по DE т.е. няма как винаги да е симетрична точка на фиксирана точка(центърът на [tex]\triangle[/tex] DEF ) спрямо фиксирана права(EF).