Интересен делител

[Гост]

Съществува ли естествено число $n$, такова че числото $3^n+1$ да притежава делител от вида $24l+20$?

[ammornil]

Не съм сигурен до колко логиката ми е вярна, но според мен няма решения на търсения проблем.$\\[24pt] n\in\mathbb{N}, \quad k\in\mathbb{N} \quad \rightarrow \exists{??} \quad 4(6k+5) | 3^{n}+1 \\[12pt] p\in\mathbb{N_{0}} \quad \begin{cases} 4|3^{n}+1,\quad \forall{n}=2p+1 \\[6pt] 4\not{|}3^{n}+1,\quad \forall{n}=2p \end{cases} \Rightarrow n=2p+1, \forall{p}\in\mathbb{N_{0}} \Rightarrow \exists{??} \quad 6k+5|\dfrac{3^{2p+1}+1}{4} \\[12pt] \dfrac{3^{2p+1}+1}{4} \equiv 1 (\mod{3}) \\[6pt] 6k+5 \equiv x (\mod{3}) \Leftrightarrow x= 0+2 \Rightarrow 6k+5 \equiv 2 (\mod{3}) \\[6pt] \Rightarrow \nexists{} (6k+5|3^{2p+1}+1) \Rightarrow \nexists(24k+20 | 3^{n}+1)$

[Гост]

Не съм сигурен до колко логиката ми е вярна, но според мен няма решения на търсения проблем.$\\[24pt] n\in\mathbb{N}, \quad k\in\mathbb{N} \quad \rightarrow \exists{??} \quad 4(6k+5) | 3^{n}+1 \\[12pt] p\in\mathbb{N_{0}} \quad \begin{cases} 4|3^{n}+1,\quad \forall{n}=2p+1 \\[6pt] 4\not{|}3^{n}+1,\quad \forall{n}=2p \end{cases} \Rightarrow n=2p+1, \forall{p}\in\mathbb{N_{0}} \Rightarrow \exists{??} \quad 6k+5|\dfrac{3^{2p+1}+1}{4} \\[12pt] \dfrac{3^{2p+1}+1}{4} \equiv 1 (\mod{3}) \\[6pt] 6k+5 \equiv x (\mod{3}) \Leftrightarrow x= 0+2 \Rightarrow 6k+5 \equiv 2 (\mod{3}) \\[6pt] \Rightarrow \nexists{} (6k+5|3^{2p+1}+1) \Rightarrow \nexists(24k+20 | 3^{n}+1)$

Как заключихте, че $6k+5$ не дели $3^{2p+1}+1$, по остатъците им по модул 3?

[pal702004]

Да, това е основното разбира се, че при нечено $n$

$3^n+1$ няма прост делител $p \equiv -1 \pmod 3$

Това е вярно за всички числа от вида $ 3а^2+1$, по общо $a^2+3b^2$ (освен ако и двете не се делят), $a^2+ab+b^2$ и т.н

Най-просто е със символа на Льожандр и квадратичния закон на реципрочност $x^2 \equiv -3 \pmod p \Longrightarrow p \equiv 1 \pmod 3$
но може и с малката теорема на Ферма.

[ammornil]

Как заключихте, че $6k+5$ не дели $3^{2p+1}+1$, по остатъците им по модул 3?

Моля да ме извините, записването на последния ред в моя пост наистина е непълно, би трябвало да е $$\Rightarrow \nexists{} \left(6k+5|\dfrac{3^{2p+1}+1}{4}\right) \Rightarrow \nexists(24k+20 | 3^{n}+1)$$ Ако питате как се доказва, колегата по-горе е дал идеи за доказване на твърдението.