Задача олимпиада

[Гост]

зз

[ammornil]

Може да има и по-кратко (по-хитро решение), но бакалският план е следният: $\\[12pt]m\in\mathbb{R}, m=const, x\in\mathbb{R}: \quad x^{4} +(3m-5)x^{2} +(m+1)^{2}=0 \\[6pt]$ Многочленът представлява четна функция $ \Rightarrow \because \exists(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \Rightarrow x_{1}= -x_{2}, x_{3}= -x_{4} \Rightarrow x^{4} +(3m-5)x^{2} +(m+1)^{2}= (x^{2} -x_{2}^{2})(x^{2}- x_{3}^{2})= 0 \\[6pt] \div{}x_{4}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \quad x_{4} \leq{x_{1}} \leq{0} \leq{x_{2}} \leq{x_{3}} \quad \Rightarrow x_{1}-x_{4}= x_{2}-x_{1}= x_{3}-x_{2}= d \in\mathbb{R} \\[6pt] \because{} \begin{cases} x_{1}=-x_{2} \\ x_{2} -x_{1}= d \\ x_{1} \leq{x_{2}} \end{cases} \Rightarrow x_{1}= -\dfrac{d}{2}, x_{2}= \dfrac{d}{2} \Rightarrow x_{4} =x_{1} -d= -\dfrac{3d}{2} \Rightarrow x_{3}= -x_{4}= \dfrac{3d}{2} \Rightarrow x_{3}= 3x_{2} \\[12pt] x^{2}=t \Rightarrow t>0 \Rightarrow \begin{cases} t_{1} =x_{2}^{2} \\ t_{2}= x_{3}^{2} \\ t_{1} \leq{t_{2}} \\ x_{3}=3x_{2} \end{cases} \Rightarrow \boxed{ \quad t_{2}= 9t_{1} \quad } \\[6pt] t^{2} +(3m-5)t +(m+1)^{2}=0 \\[6pt] \exists{(t_{1},t_{2})} \Rightarrow (3m-5)^{2}- 4(m+1)^{2} \geq{0} \quad \Leftrightarrow \quad 9m^{2} -30m +25 -4m^{2} -8m -4 \geq{0} \\[6pt] \quad \Leftrightarrow \quad 5m^{2} -38m +21 \geq{0}, \quad m_{1,2}=\dfrac{19\pm\sqrt{19^{2}- 5\cdot{21}}}{5}= \dfrac{19\pm16}{5} \\[6pt]\quad \left(m- \dfrac{3}{5}\right)(m-7) \geq{0} \Rightarrow \boxed{ \quad \text{ДМ}: m\in\left(-\infty;\dfrac{3}{5}\right] \cup [7; +\infty ) \quad } \\[6pt] \begin{array}{|l} t_{1} +t_{2} = -(3m-5) \\ t_{1}\cdot{t_{2}}= (m+1)^{2} \\ t_{1} =9t_{2} \end{array} \\[6pt] $ Понеже се интересуваме от стойностите на $m$ можем да си позволим да пропуснем последното равенство след като сме заместили с него в първите две $\\[6pt] \quad \Rightarrow \begin{array}{|l} 10t_{2}= 5- 3m \\ (3t_{2})^{2}= (m+1)^{2} \end{array} \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{|l} t_{2}= \dfrac{5- 3m}{10} \\ 3t_{2}= m+1 \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} t_{2}= \dfrac{5- 3m}{10} \\ -3t_{2}= m+1 \end{array} \\[12pt] \begin{array}{|l} t_{2}= \dfrac{5- 3m}{10} \\ 15 -9m =10m +10 \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} t_{2}= \dfrac{5- 3m}{10} \\ -15 +9m= 10m +10 \end{array} \\[6pt] \begin{array}{|l} t_{2}= \dfrac{5- 3m}{10} \\ 19m= 5 \end{array} \quad \cup \quad \begin{array}{|l} t_{2}= \dfrac{5- 3m}{10} \\ m= -25 \end{array} \\[6pt] m_{1}=\dfrac{5}{19} \in{\text{ДМ}} \quad \cup \quad m_{2}= -25 \in{\text{ДМ}}$ $$ \text{Отговор:} \quad -25, \quad \dfrac{5}{19} $$

[peyo]

Може да има и по-кратко (по-хитро решение), но бакалският план е следният:...

Аз викам с груба сила да пробваме:

In [57]: var("x,m,a,k")
...: U = x**4 +(3*m-5)*x**2 +(m+1)**2
...: x0 = a; x1 = a+k; x2=a+2*k; x3=a+3*k

In [58]: [[s[m],solve(U.subs(m,s[m]))] for s in solve([U.subs(x,q) for q in (x0,x1,x2,x3)])]
...:
Out[58]:
[[-3*a**2/2 - a*sqrt(5*a**2 + 32)/2 - 1,
[{a: -x},
{a: x},
{a: -3*x/2 - sqrt(5*x**2 + 32)/2},
{a: -3*x/2 + sqrt(5*x**2 + 32)/2},
{a: 3*x/2 - sqrt(5*x**2 + 32)/2},
{a: 3*x/2 + sqrt(5*x**2 + 32)/2}]],
[-3*a**2/2 + a*sqrt(5*a**2 + 32)/2 - 1,
[{a: -x},
{a: x},
{a: -3*x/2 - sqrt(5*x**2 + 32)/2},
{a: -3*x/2 + sqrt(5*x**2 + 32)/2},
{a: 3*x/2 - sqrt(5*x**2 + 32)/2},
{a: 3*x/2 + sqrt(5*x**2 + 32)/2}]],
[-1, [0, -2*sqrt(2), 2*sqrt(2)]],
[3/5, [-2*sqrt(10)/5, 2*sqrt(10)/5]],
[3/5, [-2*sqrt(10)/5, 2*sqrt(10)/5]],
[-25, [-6*sqrt(2), -2*sqrt(2), 2*sqrt(2), 6*sqrt(2)]],
[-25, [-6*sqrt(2), -2*sqrt(2), 2*sqrt(2), 6*sqrt(2)]],
[5/19, [-6*sqrt(38)/19, -2*sqrt(38)/19, 2*sqrt(38)/19, 6*sqrt(38)/19]],
[5/19, [-6*sqrt(38)/19, -2*sqrt(38)/19, 2*sqrt(38)/19, 6*sqrt(38)/19]],
[7, [-2*sqrt(2)*I, 2*sqrt(2)*I]],
[7, [-2*sqrt(2)*I, 2*sqrt(2)*I]]]

-1 даде аритметична редица от 3 елемента, но 0 е двоен и е спорен.

[pal702004]

Както спомена ammornil, уравнението е биквадратно (функцията е четна), следователно ако $x$ е корен, то и $-x$ също е корен. Тоест, корените,в този ред, са $-b,-a,a,b$ за някои $a,b$. От това, че образуват аритм. прогресия следва
$2a=-a+b$. Или корените са $-3a,-a,a,3a$

От формулите на Виет получаваме

[tex]\begin{array}{|l} 9a^4=(m+1)^2\\-10a^2=3m-5 \end{array}[/tex]

Или,

[tex]\begin{array}{|l} m+1=\pm 3a^2 \\3m-5=-10a^2 \end{array} \Longrightarrow \dfrac{3m-5}{m+1}=\pm \dfrac{10}{3}[/tex]

Решения $m=-25$ и $m=\dfrac{5}{19}$

И в двата случая корените са реални (което не се изисква по условие).