Четириъгълник и вписани окръжности

[Гост]

Нека ABCD е изпъкнал четириъгълник с AB[tex]\ne[/tex]AD, такъв че вписаната окръжност в [tex]\triangle[/tex]ABC с център [tex]I_{1 }[/tex] и вписаната окръжност в [tex]\triangle[/tex] ADC с център [tex]I_{2 }[/tex] имат обща точка на AC. Ако вписаната окръжност в [tex]\triangle[/tex]ABC се допира до AB в точка E и вписаната окръжност в [tex]\triangle[/tex] ADC се допира до AD в точка F, то да се докаже, че BD, EF и [tex]I_{1 } I_{2 }[/tex] се пресичат в една точка.

[KOPMOPAH]

Четириъгълник и вписани окръжности.png (27.93 KiB) Прегледано 111 пъти

Отсечките с еднакъв цвят са равни, откъдето се получава, че в четириъгълника може да се впише окръжност. Освен трите прави, за които се пита в условието, допирателните към трите окръжности също минават през тази точка.

[Гост]

Ще го докажеш ли

[Гост]

На първо място, ще формулираме и докажем известната теорема на Дезарг, която установява връзка между колинеарноста на точки и пресичането на прави в една точка:
Теорема (Дезарг): Дадени са 2 триъгълника [tex]\triangle A_{ } B_{ } C_{ }[/tex] и [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex]. Правите [tex]AA_{1 }[/tex],[tex]BB_{1 }[/tex] и [tex]CC_{1 }[/tex] се пресичат в една точка [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]M_{ }[/tex]=[tex]AB_{ } \cap A_{1 } B_{1 }[/tex], [tex]N_{ }[/tex]=[tex]AC_{ } \cap A_{1 } C_{1 }[/tex] и [tex]P_{ }[/tex]=[tex]BC_{ } \cap B_{1 } C_{1 }[/tex] лежат на 1 права.

Доказателство: Ще докажем правата посока и от нея ще изведем обратната. Нека 3-те прави се пресичат в една точка O. Прилагаме 3 пъти теоремата на Менелай:
[tex]\frac{ MA_{1 } }{ MB_{1 } } \frac{ BB_{1 } }{ BO_{ } } \frac{ AO_{ } }{ AA_{1 } }[/tex]=1 (За [tex]\triangle[/tex] [tex]B_{1 } A_{1 } O_{ }[/tex]и правата AB)
[tex]\frac{ PB_{1 } }{ PC_{1 } } \frac{ BO_{ } }{ BB_{1 } } \frac{ CC_{1 } }{ OC_{1 } }[/tex]=1 (За [tex]\triangle[/tex] [tex]B_{1 } C_{1 } O_{ }[/tex] и правата BC)
[tex]\frac{ NC_{1 } }{ NA_{1 } } \frac{ CO_{ } }{ CC_{1 } } \frac{ AA_{1 } }{ OA_{1 } }[/tex]=1 (За [tex]\triangle[/tex] [tex]A_{1 } C_{1 } O_{ }[/tex] и правата AC)
Умножавайки 3-те равенства, получаваме [tex]\frac{ MA_{1 }}{MB_{1 } } \frac{PB_{1 }}{PC_{1 }} \frac{NC_{1 }}{NA_{1 }}[/tex]=1, откъдето от обратната теорема на Менелай за [tex]\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 }[/tex] следва, че M,N и P лежат на 1 права.

Нека сега M,N и P лежат на 1 права. Оттук следва, че [tex]MN_{ }[/tex], [tex]BC_{ }[/tex] и [tex]B_{1 } C_{1 }[/tex] се пресичат в една точка - P [tex]\Rightarrow[/tex] можем да приложим правата посока на теоремата за [tex]\triangle MBB_{1 }[/tex] и [tex]\triangle PCC_{1 }[/tex], откъдето следва, че [tex]A_{ }[/tex], [tex]A_{1 }[/tex] и [tex]О_{ }[/tex]=[tex]BB_{1 } \cap CC_{1 }[/tex] лежат на 1 права, с което сме готови.

Обратно към оригиналната задача, исканото се оказва еквивалентно на това да покажем, че [tex]BE_{ } \cap DF_{ }[/tex]=[tex]A_{ }[/tex], [tex]I_{ }[/tex]=[tex]BI_{1 } \cap DI_{2 }[/tex] [tex]EI_{1 } \cap FI_{2}[/tex]=[tex]A_{1 }[/tex] лежат на 1 права. Както отбеляза КОРМОРАН, ABCD е описан четириъгълник, съответно точка I е центърът на вписаната в него окръжност и следователно лежи на ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]DAB. Понеже AE=AF от условието вписаните окръжности да се допират до AC в обща точка, лесно се съобразява, че правоъгълните [tex]\triangle AEA_{1 }[/tex] и [tex]AFA_{1 }[/tex] са еднакви по 4-ти признак. Оттук следва, че [tex]A_{1 }[/tex] лежи на ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]BAD [tex]\Rightarrow[/tex] 3-те точки от по-горе лежат на ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]BAD, с което задачата е решена.