Лице на триъгълник

[Гост]

Даден е [tex]\triangle ABC, \angle A = 90 ^\circ ,[/tex] т.[tex]M \in AB[/tex], като [tex]AM=MB[/tex]
Окръжността $k$ се допира до точките $C$ и $M$ и пресича хипотенузата $BC$ в т.$P$
Ако $CP = 4$ да се намери лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle ABC, \angle A = 90 ^\circ ,[/tex] т.[tex]M \in AB[/tex], като [tex]AM=MB[/tex]
Окръжността $k$ се допира до точките $C$ и $M$ и пресича хипотенузата $BC$ в т.$P$
Ако $CP = 4$ да се намери лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]

Без заглавие - 2025-12-27T180755.581.png (194.98 KiB) Прегледано 83 пъти

горова теорема:
$CA = AM$ (като допирателни от външна точка към окръжност)
$AM = MB = AC = x$
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]BC^{2 } = AC^{2 } + AB^{2 } \Leftrightarrow BC^{2 }= x^{2 } + (2x)^{2 } \Leftrightarrow BC^{2 } = 5 x^{2 } \Rightarrow BC = x \sqrt{5}[/tex]
[tex]BC = CP + PB \Leftrightarrow x \sqrt{5} = 4+ PB \Rightarrow PB = x \sqrt{5}-4[/tex]
От т.$B$ са спуснати секущата $BC$ и допитателната $BM$
[tex]\Rightarrow BM^{2 } = BC.PB \Leftrightarrow x^{2 }= x \sqrt{5}(x \sqrt{5}-4) \Leftrightarrow x^{2 }= 5 x^{2 } - 4x \sqrt{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow 4x \sqrt{5} = 4 x^{2 } \Leftrightarrow 4x \sqrt{5} - 4 x^{2 } =0 \Leftrightarrow 4x( \sqrt{5}-x) = 0[/tex]
[tex]4x \ne 0 \Rightarrow \sqrt{5} - x = 0 \Rightarrow x = \sqrt{5}[/tex]

[tex]S_{ABC } = \frac{AB.AC}{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{2x.x}{2} = x^{2 }[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{ABC }= x^{2 } \\ x = \sqrt{5} \end{cases} \Rightarrow S_{ABC } = 5[/tex]

Скрит текст: покажи

Моето мнение е,че задачата е достойна по-скоро за домашна работа отколкото за състезание

[Гост]

Да,това е за домашно в 9 клас,но господинът каза,че е давано на състезание.Благодсря за решението!Разбрах го!