Задача СУ 2025 Май

[Гост]

.....

[Гост]

Възможно ли е задачата да се реши без вектори? И ако не, защо?

[123a]

Възможно ли е задачата да се реши без вектори? И ако не, защо?

Разбира се, че е възможно.

[tex]\triangle AQM[/tex] [tex]\approx[/tex] [tex]\triangle CQD \Rightarrow \frac{AQ}{CQ}= \frac{1}{2}[/tex]

От теоремата на Менелай за [tex]\triangle AQD[/tex] и правата [tex]NC[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{PQ}{PD}= \frac{2}{3}[/tex]

Превим още една пропорция от подобните по-горе триъгълници и намираме QM.

[Darina73]

Ето още един начин .
Нека правите DM и BC се пресичат в т. F .
Да означим AB с 2m и AD с 2n .
DP:PQ:QM= a:b:c = ?

[tex]\triangle[/tex]AMD[tex]\cong \triangle[/tex]BMF (по 2 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] MD=MF т.е. MF=a+b+c (1)
[tex]\triangle[/tex]AMQ[tex]\approx \triangle[/tex]CDQ (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{QM}{DQ}= \frac{AM}{CD} ; \frac{QM}{DP+PQ} =\frac{m}{2m} ;\frac{c}{a+b} =\frac{1}{2}[/tex] ; 2c=a+b (2)

[tex]\triangle[/tex]NPD[tex]\approx \triangle[/tex]CPF (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{DP}{FP}= \frac{ND}{FC} ;\frac{a}{a+2b+2c}= \frac{n}{4n}[/tex] ; 2c=3a-2b (3)

От (2) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex] a+b=3a-2b ; [tex]\frac{a}{b}= \frac{3}{2}[/tex]

Да приемем ,че a=3x , b=2x (4) и ги заместим в (2)
2c=3x+2x ; c=[tex]\frac{5x}{2}[/tex] (5)
От (4) се досещаме ,че a=6.[tex]\frac{x}{2}[/tex] и b=4.[tex]\frac{x}{2}[/tex] и от (5) имаме c=5.[tex]\frac{x}{2}[/tex]

Тогава a:b:c =6:4:5 Отг. В)