Definite integration

[man111]

[tex]\displaystyle \int^{2}_{1}\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[3]{16-x^4}}dx[/tex]

[ammornil]

Подинтегралната функция не е дефинирата в горния край на интервала. Не съм сигурен дали това има решение, но според мен няма.

Ако все пак има такова решение, то ще изисква някаква "хитра" субституция, защото всеки от елементите на частното е производна на доста сложна примитвна функция, което прави вкарването на коя да е от двете зад диференциал неефективно, а рационализиране на коя да е част на дробта не дава "хубав" резултат. Може би субституция като $x=2\sqrt[4]{t}$...?

Съжалявам, че не мога да Ви бъда по-полезен.

[grav]

Каква точно е задачата? Не мисля, че този интеграл може да се реши точно, поне неопределенят интеграл не може да се изрази чрез елементарни фунции. Определенят може и да може да се реши с някаква хитра идея.

[peyo]

Подинтегралната функция не е дефинирата в горния край на интервала. ...

Ако кажем, че горния край на интервала клони към [tex]+\infty[/tex], а долната част както и цялата функция в интервала е >0 , това мисля, че спокойно дава отговор на задачата [tex]+\infty[/tex].

[ammornil]

Подинтегралната функция не е дефинирата в горния край на интервала. ...

Ако кажем, че горния край на интервала клони към [tex]+\infty[/tex], а долната част както и цялата функция в интервала е >0 , това мисля, че спокойно дава отговор на задачата [tex]+\infty[/tex].

Според мен грешите. Стойността на интеграла не се изчислява от подинтегралната функция, а от стойностите на примитивната ѝ в краищата на интервала. Подинтегралната функция може да е прекъсната в $x=2$, но примитивната може да не е. Затова казах, че ми изглежда да няма решение, но не съм сигурен понеже на съм намерил промитивната (не съм намерил неопределения интеграл).

p.s.

Скрит текст: покажи

scipy и mpmath намират числени стойности ($0.9830727578374459$ и $0.98307275783761198254$ респективно), значи примитивната е дефинирана в краищата на посочения интервал.

[Гост]

Feynman's trick?

[peyo]

...

Ако кажем, че горния край на интервала клони към [tex]+\infty[/tex], а долната част както и цялата функция в интервала е >0 , това мисля, че спокойно дава отговор на задачата [tex]+\infty[/tex].

Според мен грешите. Стойността на интеграла не се изчислява от подинтегралната функция, а от стойностите на примитивната ѝ в краищата на интервала. Подинтегралната функция може да е прекъсната в $x=2$, но примитивната може да не е. Затова казах, че ми изглежда да няма решение, но не съм сигурен понеже на съм намерил промитивната (не съм намерил неопределения интеграл).

p.s.

Скрит текст: покажи

scipy и mpmath намират числени стойности ($0.9830727578374459$ и $0.98307275783761198254$ респективно), значи примитивната е дефинирана в краищата на посочения интервал.

Да, моя грешка. Оказва се, че площта на фигурата е крайно число, въпреки, че едната страна е безкрайно голяма. Малко странно на на пръв поглед.

Изглежда неопределения интеграл няма да има решение в елементарни функции според мое разследване с chatgpt.

И можем да направих хитро заместване, така че цифровата интеграция а е дефинирана в цялата област:

[tex]\text{Substitute }x=2-t^3,\qquad t\in[0,1].[/tex]

[tex]dx=-3t^2,dt,\qquad x(1)=1,\quad x(0)=2.[/tex]

[tex]\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt[3]{16-x^4}},dx
=\int_{1}^{0}\frac{\sqrt{(2-t^3)^2+1}}{\sqrt[3]{,16-(2-t^3)^4,}};(-3t^2),dt
=\int_{0}^{1}3t^2,\frac{\sqrt{(2-t^3)^2+1}}{\sqrt[3]{,16-(2-t^3)^4,}},dt.[/tex]