Една румънска задача

[Гост]

Даден е остроъгълен ABC с ортоцентър H. Симетралите на страните AC и BC пресичат правата AB в точки D и E. Описаните окръжности на ABC и ADE се пресичат за втори път в точка S. Да се докаже, че [tex]\angle[/tex]CSH=90[tex]^\circ \Leftrightarrow \angle[/tex]ACB=45[tex]^\circ[/tex]

[S.B.]

Даден е остроъгълен ABC с ортоцентър H. Симетралите на страните AC и BC пресичат правата AB в точки D и E. Описаните окръжности на ABC и ADE се пресичат за втори път в точка S. Да се докаже, че [tex]\angle[/tex]CSH=90[tex]^\circ \Leftrightarrow \angle[/tex]ACB=45[tex]^\circ[/tex]

Моите уважения към Румъния,но точките [tex]A,D,E[/tex] лежат на правата [tex]AB[/tex] и няма как да са върхове на триъгълник.

[Гост]

[tex]\triangle[/tex]CDE е триъгълникът, извинявам се.

[S.B.]

Даден е остроъгълен ABC с ортоцентър H. Симетралите на страните AC и BC пресичат правата AB в точки D и E. Описаните окръжности на ABC и ADE се пресичат за втори път в точка S. Да се докаже, че [tex]\angle[/tex]CSH=90[tex]^\circ \Leftrightarrow \angle[/tex]ACB=45[tex]^\circ[/tex]

Без заглавие - 2026-02-08T193228.643.png (306.17 KiB) Прегледано 222 пъти

[Гост]

Хубав е чертежа, ама решение?

[Гост]

Хубав е чертежа, ама решение?

Има и по-тежки случаи - нито чертеж,нито решение...

[Гост]

Преди да преминем към същинската част на решението, малко означения: М - среда на AB, O - център на описаната окръжност около [tex]\triangle[/tex]ABC F - среда на CH, C' - диаметрално противоположната точка на C в описаната окръжност около [tex]\triangle[/tex]ABC, M' - среда на DE. Добре известно е, че H, M и C' лежат на 1 права.

Да забележим, че условието [tex]\angle[/tex]CSH=90[tex]^\circ[/tex] е еквивалентно на това S да лежи на окръжността с диаметър CH, а това от своя страна е еквивалентно на това окръжността с диаметър CH, описаната окръжност около [tex]\triangle[/tex]ABC и описаната окръжност около [tex]\triangle[/tex]DEC да имат обща радикална ос (правата CS). Добре известно е, че ако тройка окръжности имат обща радикална ос, центровете им лежат на 1 права. Оттук следва, че центърът на описаната около [tex]\triangle[/tex]DEC окръжност лежи на правата OF. Лесно се съобразява, че:
1)OF || HC' [tex]\Rightarrow[/tex] OF || HM
2)[tex]\triangle[/tex]ABH е подобен на [tex]\triangle[/tex]EDO (EO || AH ; DO || BH)
3) О е център на вписаната окръжност в [tex]\angle[/tex]CDE (OD и OE са ъглополовящи на ъглите при D и E)

От 2) следва, че [tex]\angle[/tex]EM'O=[tex]\angle[/tex]AMH като съответни ъгли в подобни триъгълници [tex]\Rightarrow[/tex] M'O || HM [tex]\Rightarrow[/tex] M' , O и F лежат на 1 права.[tex]\Rightarrow[/tex]Правата M'O съдържа центъра на описаната окръжност около [tex]\triangle[/tex]DEC. Сега ако се фокусираме върху [tex]\triangle[/tex]DEC , трябва да отговорим на въпроса "Кога правата през центъра на вписаната окръжност и някоя от средите на страна на триъгълник съдържа центъра на описаната му окръжност?". Оказва се, че това става или когато триъгълникът е равнобедрен (но тогава и [tex]\triangle[/tex]ABC е равнобедрен и оригиналната задача губи смисъл), или когато е правоъгълен с прав ъгъл срещу страната, чиято среда сме взели [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DCE=90[tex]^\circ[/tex] и оттук лесно пресмятаме [tex]\angle[/tex]ACB=45[tex]^\circ[/tex].