НОМ 2026 областен кръг за 10 клас

[Гост]

НОМ 2026 10 клас.задача: Аритметична прогресия ÷ {[tex]a_{1 }[/tex] ,..., [tex]a_{2026 }[/tex]} .[tex]S_{2026 }[/tex]=2026.[tex]\sum_{i=1 }^{2025} \frac 1 {{a_i}{a_{i+1}}}[/tex]=-2025

Решение: Нека a= [tex]a_1[/tex] d-разликата. Лесно се получава уравнението: [tex]a+\frac {2025d} 2 = 1. \Rightarrow d=\frac { 2(1-a) }{ 2025}[/tex] Ключово е разлагането
[tex]\frac 1 {a_i{a_{i+1}} }=\frac 1 d ( {\frac 1 a_i} -{\frac 1 a_{i+1}} )[/tex].


Оттук получаваме и второто уравнение : a(a+2025d)=-1 решенията на системата са: [tex]a=1\pm[/tex][tex]\sqrt{2}[/tex]