Полиноми

[Гост]

На дъска са записани полиномите [tex]x^{3 }[/tex]- 3[tex]x^{2 }[/tex]+ 4 и [tex]x^{2 }[/tex]- 4[tex]x^{ }[/tex]+ 3. На всеки ход имаме право да изберем 2 полинома f(x) и g(x) (не непременно различни), които вече са записани на дъската и да запишем на дъската полиномите f(x)[tex]\pm[/tex]g(x), f(x)g(x), f(g(x)), g(f(x)), cf(x) и cg(x), където c е някакво реално число, което ние избираме на всеки ход. Възможно ли е за някое естествено n на дъската да се появи полиномът [tex]x^{n }[/tex]+ [tex]x^{n-1 }[/tex]- 2 ?

[Гост]

Подсказка: Разгледайте производните на полиномите, които са на дъската.

[Гост]

Забелязваме, че ако производните на f(x) и g(x) имат общ корен x, то и производните на всеки от полиномите, които можем да получим, имат x за корен. Виждаме, че 2 е корен на производните на началните полиноми, откъдето следва, че 2 е и корен на производната на [tex]x^{n }[/tex]+[tex]x^{n-1}[/tex]-2, което явно не е възможно.