Кенгуру. Може ли помощ?

[Гост]

Screenshot_20260318_081749_Chrome.jpg (41.38 KiB) Прегледано 172 пъти

[ammornil]

$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\quad$правоъгълен паралелепипед$\\ V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=m,\quad S_{1_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}= n, \quad 4 \cdot{(AB +BC +AA_{1})}=l \\ \because{} m-n+l= 14 \Rightarrow V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}\phantom{}_{_{min}} =? \\[12pt] \begin{cases} AB= CD= A_{1}B_{1}= C_{1}D_{1}= x \in{Z^{+}} \\ AD= BC= A_{1}D_{1}= B_{1}C_{1}= y \in{Z^{+}} \\ AA_{1}= BB_{1} =CC_{1} =DD_{1} =z \in{Z^{+}} \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{l} x\cdot{y}\cdot{z} =m \\ 2\cdot{(x\cdot{y} +x\cdot{z} +y\cdot{z})}= n \\ 4\cdot{(x +y +z)}= l \end{array} \\[6pt] x\cdot{y}\cdot{z} -2\cdot{(x\cdot{y} +x\cdot{z} +y\cdot{z})} +4\cdot{(x +y +z)}= 14$ $\\[24pt]$ Може да подходите с груба сила, като вземете цели стойности за $x$ и $y$ и определяте $z$, след което да намирате обема.
Може да опитате и с частните производни на функцията $$g(x,y,z)= x\cdot{y}\cdot{z} -2\cdot{(x\cdot{y} +x\cdot{z} +y\cdot{z})} +4\cdot{(x +y +z)}- 14 =0 $$
$\\[24pt] x=1 \Rightarrow yz -2(y +z +yz) +4(y+ z+ 1) =14\\ $Това е Диофантово равенство, което няма целочислени решения.$\\[24pt] x=2 \Rightarrow 2yz -2(2y +2z +yz) +4(y+ z+ 2) =14\\ \hspace{4em} yz -(2y +2z +yz) +2(y+ z+ 2) =7\\ $ Това е Диофантово равенство, което няма целочислени решения. $\\[24pt] x=3 \Rightarrow 3yz -2(3y +3z +yz) +4(y+ z+ 3) =14\\ \hspace{4em} yz -2y -2z +12 =14 \\ \hspace{4em} yz -2y -2z -4 +6= 0 \\ \hspace{4em} y(z-2)-2(z-2)= 6 \\ \hspace{4em} (y-2)(x-2)= 6 \Rightarrow \\ \begin{array}{|l} y-2= 3 \\ z-2= 2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y-2= 2 \\ z-2= 3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y-2= 1 \\ z-2= 6 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y-2= 6 \\ z-2= 1 \end{array} \\ \quad \begin{array}{|l} y_{1}=5 \\ z_{1}=4 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y_{1}= 4 \\ z_{1}= 5 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y_{1}= 3 \\ z_{1}= 8 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y_{1}= 8 \\ z_{1}= 3 \end{array} \\ \hspace{4em} (3, 4, 5) \rightarrow V=60 \\ \hspace{4em} (3, 3, 8) \rightarrow V=72 \\ $До тук най-млакият обем е 60. $\\[24pt] x=4 \Rightarrow 4yz -2(4y +4z +yz) +4(y+ z+ 4) =14\\ \hspace{4em} 2yz -4y -4z -yz +2y +2z +8 -7= 0 \\ \hspace{4em} yz-2y -2z +4 -3=0 \\ \hspace{4em} (y-2)(z-2)= 3 \\ $ Правим системи както в предния случай и получаваме $(4, 3, 5) \rightarrow V=60\\ $ За $x=5$ получаваме пак $(5,3,4)$, а за $6$ и нагоре няма целочислени решения, значи отговорът е $V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}\phantom{}_{_{min}} = 60$

[Гост]

$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\quad$правоъгълен паралелепипед$\\ V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=m,\quad S_{1_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}= n, \quad 4 \cdot{(AB +BC +AA_{1})}=l \\ \because{} m-n+l= 14 \Rightarrow V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}\phantom{}_{_{min}} =? \\[12pt] \begin{cases} AB= CD= A_{1}B_{1}= C_{1}D_{1}= x \in{Z^{+}} \\ AD= BC= A_{1}D_{1}= B_{1}C_{1}= y \in{Z^{+}} \\ AA_{1}= BB_{1} =CC_{1} =DD_{1} =z \in{Z^{+}} \end{cases} \Rightarrow \begin{array}{l} x\cdot{y}\cdot{z} =m \\ 2\cdot{(x\cdot{y} +x\cdot{z} +y\cdot{z})}= n \\ 4\cdot{(x +y +z)}= l \end{array} \\[6pt] x\cdot{y}\cdot{z} -2\cdot{(x\cdot{y} +x\cdot{z} +y\cdot{z})} +4\cdot{(x +y +z)}= 14$ $\\[24pt]$ Може да подходите с груба сила, като вземете цели стойности за $x$ и $y$ и определяте $z$, след което да намирате обема.
Може да опитате и с частните производни на функцията $$g(x,y,z)= x\cdot{y}\cdot{z} -2\cdot{(x\cdot{y} +x\cdot{z} +y\cdot{z})} +4\cdot{(x +y +z)}- 14 =0 $$
$\\[24pt] x=1 \Rightarrow yz -2(y +z +yz) +4(y+ z+ 1) =14\\ $Това е Диофантово равенство, което няма целочислени решения.$\\[24pt] x=2 \Rightarrow 2yz -2(2y +2z +yz) +4(y+ z+ 2) =14\\ \hspace{4em} yz -(2y +2z +yz) +2(y+ z+ 2) =7\\ $ Това е Диофантово равенство, което няма целочислени решения. $\\[24pt] x=3 \Rightarrow 3yz -2(3y +3z +yz) +4(y+ z+ 3) =14\\ \hspace{4em} yz -2y -2z +12 =14 \\ \hspace{4em} yz -2y -2z -4 +6= 0 \\ \hspace{4em} y(z-2)-2(z-2)= 6 \\ \hspace{4em} (y-2)(x-2)= 6 \Rightarrow \\ \begin{array}{|l} y-2= 3 \\ z-2= 2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y-2= 2 \\ z-2= 3 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y-2= 1 \\ z-2= 6 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y-2= 6 \\ z-2= 1 \end{array} \\ \quad \begin{array}{|l} y_{1}=5 \\ z_{1}=4 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y_{1}= 4 \\ z_{1}= 5 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y_{1}= 3 \\ z_{1}= 8 \end{array} \cup \begin{array}{|l} y_{1}= 8 \\ z_{1}= 3 \end{array} \\ \hspace{4em} (3, 4, 5) \rightarrow V=60 \\ \hspace{4em} (3, 3, 8) \rightarrow V=72 \\ $До тук най-млакият обем е 60. $\\[24pt] x=4 \Rightarrow 4yz -2(4y +4z +yz) +4(y+ z+ 4) =14\\ \hspace{4em} 2yz -4y -4z -yz +2y +2z +8 -7= 0 \\ \hspace{4em} yz-2y -2z +4 -3=0 \\ \hspace{4em} (y-2)(z-2)= 3 \\ $ Правим системи както в предния случай и получаваме $(4, 3, 5) \rightarrow V=60\\ $ За $x=5$ получаваме пак $(5,3,4)$, а за $6$ и нагоре няма целочислени решения, значи отговорът е $V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}\phantom{}_{_{min}} = 60$

Можем просто да запишем (x-2)(y-2)(z-2)=6 и ще стане малко по-леко

[Гост]

(x - 2)(y - 2)(z - 2) = 6 = (-1).(-1).6

x = 1, y = 1, z = 8

m = 1.1.8 = 8
n = 2.1.1 + 4.1.8 = 34
l = 8.1 + 4.8 = 40