Дължини на отсечки

[ammornil]

Даден е $\triangle{ABC}$ с ъгъл при върха $A$ равен на $90^{\circ}$. Точките $D$ и $E$ лежат съответно на страните $AC$ и $AB$ и са такива, че $\angle{ABD}= \angle{DBC}$ и $\angle{ACE}= \angle{ECB}$. Пресечната точка на $BD$ и $CE$ е $I$. Да се докаже, че не е възможно дължините на $AB, AX, BI, DI, CI$ и $EI$ да са всички едновременно целочислени.

[ammornil]

Моля да ме извините за печатната грешка

Даден е $\triangle{ABC}$ с ъгъл при върха $A$ равен на $90^{\circ}$. Точките $D$ и $E$ лежат съответно на страните $AC$ и $AB$ и са такива, че $\angle{ABD}= \angle{DBC}$ и $\angle{ACE}= \angle{ECB}$. Пресечната точка на $BD$ и $CE$ е $I$. Да се докаже, че не е възможно дължините на $AB, \bold{\red{AC}}, BI, DI, CI$ и $EI$ да са всички едновременно целочислени.

[Гост]

Да допуснем, че отсечките [tex]AB[/tex], [tex]AC[/tex], [tex]BI[/tex] и [tex]CI[/tex] имат целочислени дължини. Очевидно [tex]I[/tex] е центърът на вписаната окръжност в правоъгълния триъгълник. Тогава е известно, че [tex]\measuredangle BIC=135^\circ[/tex]. Прилагайки косинусовата теорема в [tex]\triangle IBC[/tex] получаваме: $$BC^2=BI^2+CI^2+\sqrt{2}\cdot BI\cdot CI\Rightarrow \sqrt{2}=\dfrac{BC^2-BI^2-CI^2}{BI\cdot CI}$$
Отделно, [tex]BC^2=AB^2+AC^2[/tex], откъдето: $$\sqrt{2}=\dfrac{AB^2+AC^2-BI^2-CI^2}{BI\cdot CI} $$
От допуснатото имаме, че [tex]AB^2+AC^2-BI^2-CI^2\in\mathbb{Z}[/tex] и [tex]BI\cdot CI\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}[/tex], тоест излиза, че [tex]\sqrt{2}[/tex] е рационално число. Противоречие. Значи четирите отсечки не могат да бъдат едновременно цели числа. Само тази извадка от отсечки доказва, че всички отсечки, дадени в условието на задачите, не могат да имат едновременно да имат целочислени дължини.